Wykonaj działania. Podaj...- Zadanie 1.37: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$\frac{x ^{3} + 3 x ^{2} - x - 3}{x ^{2} - 1} \cdot \frac{1}{x ^{2} + 8 x + 15}$

Zauważmy, że

$x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 = x^{2} (x + 3) - (x + 3) = (x + 3) (x^{2} - 1)$
$x^{2} + 8 x + 15 = x^{2} + = 8 x 3 x + 5 x + 15 = x (x + 3) + 5 (x + 3) = (x + 3) (x + 5)$

Założenie:

$x^{2} - 1 \neq = 0 \land x^{2} + 8 x + 15 \neq = 0$

$x^{2} \neq = 1 (x + 3) (x + 5) \neq = 0$

$x \neq = - 1 \land x \neq = 1 x + 3 \neq = 0 \land x + 5 \neq = 0$

$x \neq = - 3 x \neq = - 5$

czyli

$\underline{x \in R \ {- 5, - 3, - 1, 1}}$

Wykonujemy działanie i otrzymujemy

$\frac{x ^{3} + 3 x ^{2} - x - 3}{x ^{2} - 1} \cdot \frac{1}{x ^{2} + 8 x + 15} = \frac{( x + 3 ) ( x ^{2} - 1 )}{x ^{2} - 1} \cdot \frac{1}{( x + 3 ) ( x + 5 )} = \frac{1}{x + 5}$

$\frac{x ^{3} + 5 x ^{2} - 2 x - 10}{x ^{2} - 2} \cdot \frac{2}{x ^{2} + 10 x + 25}$

Założenie:

$x^{2} - 2 \neq = 0 \land x^{2} + 10 x + 25 \neq = 0$

$x^{2} \neq = 2 (x + 5)^{2} \neq = 0$

$x \neq = 2 \land x \neq = - 2 x + 5 \neq = 0$

$x \neq = - 5$

czyli

$\underline{x \in R \ {- 5, - 2, 2}}$

Zauważmy, że

$x^{3} + 5 x^{2} - 2 x - 10 = x^{2} (x + 5) - 2 (x + 5) = (x + 5) (x^{2} - 2)$

Wykonujemy działanie i otrzymujemy

$\frac{x ^{3} + 5 x ^{2} - 2 x - 10}{x ^{2} - 2} \cdot \frac{2}{x ^{2} + 10 x + 25} = \frac{( x + 5 ) ( x ^{2} - 2 )}{x ^{2} - 2} \cdot \frac{2}{( x + 5 ) ^{2}} = \frac{2}{x + 5}$

$\frac{2 x ^{3} - 14 x ^{2} - 8 x + 56}{2 x ^{2} - 18} \cdot \frac{3 x ^{2} + 7 x - 6}{x ^{2} - 9 x + 14}$

Zauważmy, że

$2 x^{3} - 14 x^{2} - 8 x + 56 = 2 x^{2} (x - 7) - 8 (x - 7) =$

$= (x - 7) (2 x^{2} - 8) = 2 (x - 7) (x^{2} - 4) = 2 (x - 7) (x + 2) (x - 2)$

$2 x^{2} - 18 = 2 (x^{2} - 9) = 2 (x + 3) (x - 3)$
$3 x^{2} + 7 x - 6 = 3 x^{2} + = 7 x 9 x - 2 x - 6 = 3 x (x + 3) - 2 (x + 3) = (x + 3) (3 x - 2)$
$x^{2} - 9 x + 14 = x^{2} - = - 9 x 2 x - 7 x + 14 = x (x - 2) - 7 (x - 2) = (x - 2) (x - 7)$

Założenie:

$2 x^{2} - 18 \neq = 0 \land x^{2} - 9 x + 14 \neq = 0$

$2 (x + 3) (x - 3) \neq = 0 (x - 2) (x - 7) \neq = 0$

$x + 3 \neq = 0 \land x - 3 \neq = 0 x - 2 \neq = 0 \land x - 7 \neq = 0$

$x \neq = - 3 x \neq = 3 x \neq = 2 x \neq = 7$

czyli

$\underline{x \in R \ {- 3, 2, 3, 7}}$

Wykonujemy działanie i dostajemy

$\frac{2 x ^{3} - 14 x ^{2} - 8 x + 56}{2 x ^{2} - 18} \cdot \frac{3 x ^{2} + 7 x - 6}{x ^{2} - 9 x + 14} = \frac{2 ( x - 7 ) ( x + 2 ) ( x - 2 )}{2 ( x + 3 ) ( x - 3 )} \cdot \frac{( x + 3 ) ( 3 x - 2 )}{( x - 2 ) ( x - 7 )} =$

$= \frac{( x + 2 ) ( 3 x - 2 )}{x - 3} = \frac{3 x ^{2} - 2 x + 6 x - 4}{x - 3} = \frac{3 x ^{2} + 4 x - 4}{x - 3}$

$\frac{2 x ^{3} + 6 x ^{2} + x + 3}{4 x ^{2} + 11 x - 3} \cdot \frac{3 x ^{2} + 2 x - 1}{2 x ^{3} + 2 x ^{2} + x + 1}$

Zauważmy, że

$2 x^{3} + 6 x^{2} + x + 3 = 2 x^{2} (x + 3) + (x + 3) = (x + 3) (2 x^{2} + 1)$
$4 x^{2} + 11 x - 3 = 4 x^{2} + = 11 x 12 x - x - 3 = 4 x (x + 3) - (x + 3) = (x + 3) (4 x - 1)$
$3 x^{2} + 2 x - 1 = 3 x^{2} + 3 x - x - 1 = 3 x (x + 1) - (x + 1) = (x + 1) (3 x - 1)$
$2 x^{3} + 2 x^{2} + x + 1 = 2 x^{2} (x + 1) + (x + 1) = (x + 1) (2 x^{2} + 1)$

Założenie:

$4 x^{2} + 11 x - 3 \neq = 0 \land 2 x^{3} + 2 x^{2} + x + 1 \neq = 0$

$(x + 3) (4 x - 1) \neq = 0 (x + 1) (2 x^{2} + 1) \neq = 0$

$x + 3 \neq = 0 \land 4 x - 1 \neq = 0 x + 1 \neq = 0 \land 2 x^{2} + 1 \neq = 0$

$x \neq = - 3 x \neq = \frac{1}{4} x \neq = - 1 wyra \overset{z}{˙} enie prawdziwe dla x \in R bo x^{2} \geq 0 x^{2} \neq = - \frac{1}{2}$

czyli

$\underline{x \in R \ {- 3, - 1, \frac{1}{4}}}$

Wykonujemy działanie i otrzymujemy

$\frac{2 x ^{3} + 6 x ^{2} + x + 3}{4 x ^{2} + 11 x - 3} \cdot \frac{3 x ^{2} + 2 x - 1}{2 x ^{3} + 2 x ^{2} + x + 1} = \frac{( x + 3 ) ( 2 x ^{2} + 1 )}{( x + 3 ) ( 4 x - 1 )} \cdot \frac{( x + 1 ) ( 3 x - 1 )}{( x + 1 ) ( 2 x ^{2} + 1 )} = \frac{3 x - 1}{4 x - 1}$

$\frac{x ^{3} - 6 x ^{2} + 5}{x ^{3} - 27} \cdot \frac{x ^{2} + 3 x + 9}{4 x - 4}$

Założenie:

$x^{3} - 27 \neq = 0 \land 4 x - 4 \neq = 0$

$x^{3} \neq = 274 x \neq = 4$

$x \neq = 3 x \neq = 1$

czyli

$\underline{x \in R \ {1, 3}}$

Zauważmy, że

$x^{3} - 6 x^{2} + 5 = x^{3} - x^{2} - 5 x^{2} + 5 = x^{2} (x - 1) - 5 (x^{2} - 1) =$

$= x^{2} (x - 1) - 5 (x + 1) (x - 1) = (x - 1) (x^{2} - 5 (x + 1)) = (x - 1) (x^{2} - 5 x - 5)$

Wykonujemy działanie i otrzymujemy

$\frac{x ^{3} - 6 x ^{2} + 5}{x ^{3} - 27} \cdot \frac{x ^{2} + 3 x + 9}{4 x - 4} = \frac{( x - 1 ) ^{1} \cdot ( x ^{2} - 5 x - 5 )}{x ^{3} - 3 ^{3}} \cdot \frac{x ^{2} + 3 x + 9}{4 \cdot ( x - 1 ) _{1}} =$

$= \frac{x ^{2} - 5 x - 5}{( x - 3 ) \cdot ( x ^{2} + 3 x + 9 ) _{1}} \cdot \frac{x ^{2} + 3 x + 9 ^{1}}{4} = \frac{x ^{2} - 5 x - 5}{4 ( x - 3 )} = \frac{x ^{2} - 5 x - 5}{4 x - 12}$

$\frac{x ^{3} - 6 x ^{2} + 12 x - 8}{x ^{2} - 4 x + 4} \cdot \frac{8 x + 1}{3 x ^{2} - 6 x}$

Założenie:

$x^{2} - 4 x + 4 \neq = 0 \land 3 x^{2} - 6 x \neq = 0$

$(x - 2)^{2} \neq = 03 x (x - 2) \neq = 0$

$x - 2 \neq = 03 x \neq = 0 \land x - 2 \neq = 0$

$x \neq = 2 x \neq = 0 x \neq = 2$

czyli

$\underline{x \in R \ {0, 2}}$

Wykonujemy działanie i otrzymujemy

$\frac{x ^{3} - 6 x ^{2} + 12 x - 8}{x ^{2} - 4 x + 4} \cdot \frac{8 x + 1}{3 x ^{2} - 6 x} = \frac{x ^{3} - 3 \cdot x ^{2} \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2 ^{2} - 2 ^{3}}{( x - 2 ) ^{2}} \cdot \frac{8 x + 1}{3 x ( x - 2 )} =$