Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku 

---

a)

Wysokość h rombu jest równa średnicy okręgu wpisanego w romb, czyli 

$h=2\cdot 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$  

Rozważmy trójkąt prostokątny ABE. 

Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym mamy 

$\sin {60}^{\circ }=\frac{h}{a}\Rightarrow a=\frac{h}{\sin {60}^{\circ }}=\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=8$  

Rozważmy trójkąt ABC. 

Zauważmy, że jest to trójkąt równoramienny (|AB|=|BC|), w którym kąt między ramionami ma miarę 60°, czyli ten trójkąt jest równoboczny. 

Zatem 

$x=a=8$  

dłuższa przekątna tego rombu jest dwa razy dłuższa od wysokości trójkąta równobocznego ABC, czyli 

$y=\frac{8\sqrt{3}}{2}\cdot 2=8\sqrt{3}$  

---

b)

Punkt F jest punktem styczności okręgu wpisanego w romb z bokiem BC. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym CSF dostajemy 

${\left|FC\right|}^2+{\left|SF\right|}^2={\left|SC\right|}^2$  

${\left|FC\right|}^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2={\left(\frac{1}{2}x\right)}^2$  

${\left|FC\right|}^2+12=4^2$  

${\left|FC\right|}^2+12=16$  

${\left|FC\right|}^2=4\text{i}\left|FC\right|>0$  

czyli 

$\left|FC\right|=2$  

skąd mamy 

$\left|BF\right|=8-2=6$  

Odp. Punkt styczności okręgu wpisanego w romb dzieli bok rombu na odcinki o długości 2 i 6.