a) 

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku 

Rozważmy trójkąt prostokątny CSD. 

Korzystając z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach 30º, 60º i 90º dostajemy 

• $a=\frac{\left|CD\right|\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{2\cdot \sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$  
• $c=\frac{\left|CD\right|}{2}=\frac{2}{2}=1$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym BCS mamy 

$b^2+c^2={\sqrt{2}}^2$  

$b^2+1^2=2$  

$b^2=1\text{i}b>0$  

więc 

$b=1$  

Rozważmy trójkąt prostokątny ASD. 

Korzystając z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach 30º, 60º i 90º dostajemy 

• $d=a\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3$  

Obliczamy długości przekątnych AC i BD czworokąta ABCD:

• $\left|AC\right|=c+d=1+3=4$  
  
  
• $\left|BD\right|=a+b=\sqrt{3}+1$  

---

b) 

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ABE mamy 

$x^2=8^2+6^2$  

$x^2=64+36$  

$x^2=100\text{i}x>0$  

czyli 

$x=10$  

Zauważmy, że trójkąty ABS i BCS są przystające (cecha bbb). 

Skoro są przystające to kąty ASB i CSB mają równe miary, skąd dostajemy że kąty ASD i CSD także mają równe miary, czyli 

$\left|\sphericalangle ASB\right|=\left|\sphericalangle CSB\right|={90}^{\circ }$   

czyli trójkąty ASD i CSD także są przystające (jako trójkąty prostokątne o równych przyprostokątnych).

Zatem czworokąt ABCD ma dwie pary sąsiednich boków równych (|AB|=|BC| oraz |AD|=|CD|), czyli jest deltoidem. 

Kąt ADC jest prosty, więc każdy z trójkątów ASD i CSD jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, skąd dostajemy, że 

• $c=a$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ACE mamy 

${\left(2a\right)}^2=8^2+{16}^2$  

$4a^2=64+256$  

$4a^2=320\mid :4$  

$a^2=80$  

$a=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$  

Rozważmy trójkąt prostokątny ABS. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dostajemy 

$a^2+b^2=x^2$  

$80+b^2={10}^2$  

$b^2=20\text{i}b>0$  

czyli 

$b=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$  

Obliczamy długości przekątnych AC i BD deltoidu ABCD:

• $\left|AC\right|=2a=8\sqrt{5}$  
  
  
• $\left|BD\right|=b+c=b+a=2\sqrt{5}+4\sqrt{5}=6\sqrt{5}$  

---

c)

Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi 

Rozważmy trójkąt prostokątny BCD. 

Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, czyli jest równoodległy od wierzchołków tego trójkąta. 

Skąd dostajemy, że 

$\left|SD\right|=\left|SB\right|=\left|CS\right|=a$  

Kąty ASD i DSC są przyległe, czyli 

$\left|\sphericalangle DSC\right|={180}^{\circ }-{60}^{\circ }={120}^{\circ }$  

Trójkąt DSC jest równoramienny, czyli 

$\left|\sphericalangle SDC\right|=\left({180}^{\circ }-{120}^{\circ }\right):2={60}^{\circ }:2={30}^{\circ }$  

Rozważmy trójkąt prostokątny BCD. 

Korzystając z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach 30º, 60º i 90º dostajemy 

• $2a=2\cdot \left|BC\right|=2\cdot 12=24\Rightarrow a=12$  

Rozważmy trójkąt prostokątny ASD. 

Korzystając z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach 30º, 60º i 90º dostajemy 

• $b=2a=24$  

Obliczamy długości przekątnych AC i BD czworokąta ABCD:

• $\left|AC\right|=a+b=12+24=36$  
  
  
• $\left|BD\right|=2a=24$  

---

d)

Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym BCF dostajemy 

$4^2+a^2=5^2$  

$16+a^2=25$  

$a^2=9\text{i}a>0$  

czyli 

$a=3$  

Rozważmy trójkąt prostokątny BEF. 

Korzystając z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach 45º, 45º i 90º dostajemy 

• $b=4$  
• $e=4\sqrt{2}$  

Rozważmy trójkąt prostokątny ABF. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dostajemy 

$4^2+{\left(b+c\right)}^2={8,5}^2$  

$16+{\left(4+c\right)}^2=72,25$  

${\left(4+c\right)}^2=56,25\mid \sqrt{}$  

$\left|4+c\right|=7,5$  

Zauważmy, że c > 0, więc wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest dodatnie. 

Po opuszczeniu znaku wartości bezwzględnej dostajemy 

$4+c=7,5$  

$c=3,5=\frac{7}{2}$  

Zauważmy, że kąty BEF i AED mają równe miary (jako kąty wierzchołkowe). 

Zatem trójkąt AED jest trójkątem o kątach 45º, 45º i 90º.

Korzystając z zależności między długościami boków w tym trójkącie dostajemy 

• $f=\frac{c}{\sqrt{2}}=\frac{\frac{7}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{7}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{4}$   

Obliczamy długości przekątnych AC i BD czworokąta ABCD:

• $\left|AC\right|=a+b+c=3+4+3,5=10,5$  
  
• $\left|BD\right|=e+f=4\sqrt{2}+\frac{7\sqrt{2}}{4}=\frac{23\sqrt{2}}{4}$