Oblicz, ile jest liczb naturalnych...- Zadanie 31: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Zapisujemy liczbę 24 jako iloczyn liczb ze zbioru {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Możliwe iloczyny, to

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$
$2 \cdot 2 \cdot 6$
$2 \cdot 4 \cdot 3$
$4 \cdot 6$
$8 \cdot 3$

Zatem rozważmy przypadki:

I. Wśród cyfr liczby dziesięciocyfrowej są trzy dwójki, trójka i sześć jedynek.

1) Jeśli na pierwszym miejscu jest trójka (1 sposób), to miejsca dla trzech dwójek możemy wybrać na

$(93) = \frac{9 !}{3 ! \cdot 6 !} = \frac{6 ! ^{1} \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 6 ! _{1}} = 84$

sposoby, na pozostałych miejscach umieszczamy jedynki (1 sposób).

2) Jeśli na pierwszym miejscu stoi dwójka (1 sposób), to miejsca dla pozostałych dwóch dwójek można wybrać na

$(92) = \frac{9 !}{2 ! \cdot 7 !} = \frac{7 ! \cdot 8 \cdot 9}{2 \cdot 7 !} = 36$

sposobów, miejsce dla trójki wybieramy na 7 sposobów, na pozostałych miejscach umieszczamy jedynki (1 sposób).

3) Jeśli na pierwszym miejscu jest jedynka (1 sposób), to miejsca dla trzech dwójek wybieramy na

$(93) = 84$

sposoby, miejsce dla trójki wybieramy na 6 sposobów, na pozostałych miejscach umieszczamy jedynki (1 sposób).

Z 1), 2) i 3) dostajemy, że wszystkich takich liczb jest

$\underline{84 + 36 \cdot 7 + 84 \cdot 6 = 840}$

II. Wśród cyfr liczby dziesięciocyfrowej są dwie dwójki, szóstka i siedem jedynek.

1) Jeśli na pierwszym miejscu jest szóstka (1 sposób), to miejsca dla dwóch dwójek możemy wybrać na

$(92) = 36$

sposobów, na pozostałych miejscach umieszczamy jedynki (1 sposób).

2) Jeśli na pierwszym miejscu stoi dwójka (1 sposób), to miejsce dla drugiej dwójki wybieramy na 9 sposobów, miejsce dla szóstki wybieramy na 8 sposobów, na pozostałych miejscach umieszczamy jedynki (1 sposób).

3) Jeśli na pierwszym miejscu jest jedynka (1 sposób), to miejsca dla dwóch dwójek wybieramy na

$(92) = 36$

sposobów, miejsce dla szóstki wybieramy na 7 sposobów, na pozostałych miejscach umieszczamy jedynki (1 sposób).

Z 1), 2) i 3) dostajemy, że wszystkich takich liczb jest

$\underline{36 + 9 \cdot 8 + 36 \cdot 7 = 360}$

III. Wśród cyfr liczby dziesięciocyfrowej są dwójka, trójka, czwórka i siedem jedynek.

1) Jeśli na pierwszym miejscu stoi cyfra ze zbioru {2, 3, 4} (3 sposoby), to miejsca dla pozostałych dwóch cyfr z tego zbioru możemy wybrać na 9 ∙ 8 sposobów. Na pozostałych miejscach umieszczamy jedynki (1 sposób).

2) Jeśli na pierwszym miejscu jest jedynka (1 sposób), to miejsca dla cyfr 2, 3, 4 można wybrać na 9 ∙ 8 ∙ 7 sposobów. Na pozostałych miejscach umieszczamy jedynki (1 sposób).

Z 1) i 2) dostajemy, że wszystkich takich liczb jest

$\underline{3 \cdot 9 \cdot 8 + 9 \cdot 8 \cdot 7 = 720}$

IV. Wśród cyfr liczby dziesięciocyfrowej są czwórka, szóstka i osiem jedynek.

1) Jeśli na pierwszym miejscu stoi cyfra ze zbioru {4,6} (2 sposoby), to miejsce dla drugiej cyfry z tego zbioru możemy wybrać na 9 sposobów. Na pozostałych miejscach umieszczamy jedynki (1 sposób).

2) Jeśli na pierwszym miejscu jest jedynka (1 sposób), to miejsca dla cyfr 4,6 można wybrać na 9 ∙ 8 sposobów. Na pozostałych miejscach umieszczamy jedynki (1 sposób).

Z 1) i 2) dostajemy, że wszystkich takich liczb jest

$\underline{2 \cdot 9 + 9 \cdot 8 = 90}$

V. Wśród cyfr liczby dziesięciocyfrowej są trójka, ósemka i osiem jedynek.

1) Jeśli na pierwszym miejscu stoi cyfra ze zbioru {3,8} (2 sposoby), to miejsce dla drugiej cyfry z tego zbioru możemy wybrać na 9 sposobów. Na pozostałych miejscach umieszczamy jedynki (1 sposób).

2) Jeśli na pierwszym miejscu jest jedynka (1 sposób), to miejsca dla cyfr 3,8 można wybrać na 9 ∙ 8 sposobów. Na pozostałych miejscach umieszczamy jedynki (1 sposób).

Z 1) i 2) dostajemy, że wszystkich takich liczb jest