a)

Rysunek pomocniczy:

Jeśli punkty C i D należą do odcinka AB i dzielą go na 3 odcinki równej długości, to prawdziwa jest równość

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\cdot \overrightarrow{AB}$  

Wyznaczamy współrzędne wektora  $\overrightarrow{AB}$  

$\overrightarrow{AB}=\left[2-\left(-10\right),-11-7\right]=\left[12,-18\right]$  

Wtedy 

$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\cdot \left[12,-18\right]=\left[4,-6\right]$  

• Z równości 

$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\cdot \overrightarrow{AB}$  

mamy

$\left[x_C+10,y_C-7\right]=\left[4,-6\right]$  

wówczas 

$x_C+10=4\wedge y_C-7=-6$  

$x_C=-6y_C=1$  

czyli 

$\underline{C\left(-6,1\right)}$  

• Z równości 

$\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$  

mamy 

$\left[2-x_D,-11-y_D\right]=\left[4,-6\right]$  

wówczas 

$2-x_D=4\wedge -11-y_D=-6$  

$x_D=-2y_D=-5$  

czyli 

$\underline{D\left(-2,-5\right)}$  

Odp. $\left(-6,1\right),\left(-2,-5\right).$  

---

b)

Rysunek pomocniczy

Jeśli punkty C, D, E i F należą do odcinka AB i dzielą go na 5 odcinków równej długości, to prawdziwa jest równość

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{FB}=\frac{1}{5}\cdot \overrightarrow{AB}$  

Z obliczeń z podpunktu a) wiadomo, że 

$\overrightarrow{AB}=\left[12,-18\right]$  

czyli 

$\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{5}\cdot \left[12,-18\right]=\left[\frac{12}{5},-\frac{18}{5}\right]$  

• Z równości 

$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{5}\cdot \overrightarrow{AB}$  

mamy

$\left[x_C+10,y_C-7\right]=\left[\frac{12}{5},-\frac{18}{5}\right]$  

wówczas 

$x_C+10=\frac{12}{5}\wedge y_C-7=-\frac{18}{5}$  

$x_C=-\frac{38}{5}{y}_C=\frac{17}{5}$  

czyli 

$\underline{C\left(-\frac{38}{5},\frac{17}{5}\right)}$  

• Z równości 

$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}$  

mamy 

$\left[x_D+\frac{38}{5},y_D-\frac{17}{5}\right]=\left[\frac{12}{5},-\frac{18}{5}\right]$  

wówczas 

$x_D+\frac{38}{5}=\frac{12}{5}\wedge y_D-\frac{17}{5}=-\frac{18}{5}$  

$x_D=-\frac{26}{5}{y}_D=-\frac{1}{5}$  

czyli 

$\underline{D\left(-\frac{26}{5},-\frac{1}{5}\right)}$  

• Z równości  

$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}$  

mamy 

$\left[x_E+\frac{26}{5},y_E+\frac{1}{5}\right]=\left[\frac{12}{5},-\frac{18}{5}\right]$  

wówczas 

$x_E+\frac{26}{5}=\frac{12}{5}\wedge y_E+\frac{1}{5}=-\frac{18}{5}$  

$x_E=-\frac{14}{5}{y}_E=-\frac{19}{5}$

 czyli 

$\underline{E\left(-\frac{14}{5},-\frac{19}{5}\right)}$  

• Z równości  

$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}$  

mamy 

$\left[x_F+\frac{14}{5},y_F+\frac{19}{5}\right]=\left[\frac{12}{5},-\frac{18}{5}\right]$  

wówczas 

$x_F+\frac{14}{5}=\frac{12}{5}\wedge y_F+\frac{19}{5}=-\frac{18}{5}$  

$x_F=-\frac{2}{5}{y}_F=-\frac{37}{5}$

 czyli 

$\underline{F\left(-\frac{2}{5},-\frac{37}{5}\right)}$  

Odp.  $\left(-\frac{38}{5},\frac{17}{5}\right),\left(-\frac{26}{5},-\frac{1}{5}\right),\left(-\frac{14}{5},-\frac{19}{5}\right),\left(-\frac{2}{5},-\frac{37}{5}\right).$