Twierdzenie Jeśli przekątne czworokąta wypukłego mają długość d1 i d2 oraz przecinają się pod kątem 𝛼, to pole P tego czworokąta wyraża się wzorem  $P=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2\cdot \sin \alpha$

---

a)

Oznaczmy przez 𝛼 miarę kąta ostrego przecięcia przekątnych czworokąta. 

Korzystając ze wzoru na pole czworokąta wypukłego dostajemy 

$P=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2\cdot \sin \alpha$  

$20=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 10\cdot \sin \alpha$  

$20=40\cdot \sin \alpha \mid :40$  

$\frac{1}{2}=\sin \alpha$  

czyli 

$\alpha ={30}^{\circ }$  

---

b)

Oznaczmy przez 𝛼 miarę kąta ostrego przecięcia przekątnych czworokąta. 

Korzystając ze wzoru na pole czworokąta wypukłego dostajemy 

$P=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2\cdot \sin \alpha$  

$3=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{8}\cdot \sin \alpha$  

$3=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}\cdot \sin \alpha$  

$3=2\sqrt{3}\cdot \sin \alpha$  

$\sin \alpha =\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

czyli 

$\alpha ={60}^{\circ }$  

---

c)

Oznaczmy przez 𝛼 miarę kąta ostrego przecięcia przekątnych czworokąta. 

Korzystając ze wzoru na pole czworokąta wypukłego dostajemy 

$P=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2\cdot \sin \alpha$  

$5\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}\cdot \sin \alpha$  

$5\sqrt{2}=10\cdot \sin \alpha$  

$\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

czyli 

$\alpha ={45}^{\circ }$  

---

d)

Długości przekątnych czworokąta wyrażamy w centymetrach 

$d_1=1\text{dm}=10\text{cm}$  

$d_2=0,12\text{m}=12\text{cm}$  

Oznaczmy przez 𝛼 miarę kąta ostrego przecięcia przekątnych czworokąta. 

Korzystając ze wzoru na pole czworokąta wypukłego dostajemy 

$P=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2\cdot \sin \alpha$  

$60=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 12\cdot \sin \alpha$  

$60=60\cdot \sin \alpha \mid :60$  

$1=\sin \alpha$  

czyli 

$\alpha ={90}^{\circ }$