Rysunek pomocniczy (do każdego z podpunktów)

---

a)

Wiadomo, że 

$a=15\text{cm},b=9\text{cm},c=d=5\text{cm}$  

Zauważmy, że wtedy trapez ABCD jest równoramienny, czyli 

$x=y=\frac{a-b}{2}=\frac{15-9}{2}=3$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa np. w trójkącie prostokątnym AED dostajemy 

$x^2+h^2=d^2$  

$3^2+h^2=5^2$  

$9+h^2=25$  

$h^2=16\text{i}h>0$  

czyli 

$h=4$  

Obliczamy pole trapezu 

$P=\frac{\left(a+b\right)\cdot h}{2}=\frac{\left(15+9\right)\cdot 4}{2}=24\cdot 2=48\left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

b)

Wiadomo, że 

$a=44\text{cm},b=16\text{cm},c=17\text{cm},d=25\text{cm}$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym AED mamy 

$x^2+h^2=d^2$  

$x^2+h^2={25}^2$  

$h^2=625-x^2\left(\text{*}\right)$  

Zauważmy, że 

$y=a-\left(x+b\right)=44-\left(x+16\right)=28-x$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym BCF mamy 

$y^2+h^2=c^2$  

${\left(28-x\right)}^2+h^2={17}^2$  

Korzystając z (*) mamy

$784-56x+x^2+625-x^2=289$  

$-56x=-1120\mid :\left(-56\right)$  

$x=20$   

wtedy 

$h^2=625-x^2$  

$h^2=625-{20}^2$  

$h^2=225\text{i}h>0$  

czyli 

$h=15$  

Obliczamy pole trapezu

$P=\frac{\left(a+b\right)\cdot h}{2}=\frac{\left(44+16\right)\cdot 15}{2}=\frac{60\cdot 15}{2}=450\left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

c)

Wiadomo, że 

$a=11\text{cm},b=6\text{cm},c=12\text{cm},d=13\text{cm}$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym AED mamy 

$x^2+h^2=d^2$  

$x^2+h^2={13}^2$  

$h^2=169-x^2\left(\text{*}\right)$  

Zauważmy, że 

$y=a-\left(x+b\right)=11-\left(x+6\right)=5-x$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym BCF mamy 

$y^2+h^2=c^2$  

${\left(5-x\right)}^2+h^2={12}^2$  

Korzystając z (*) mamy

$25-10x+x^2+169-x^2=144$  

$-10x=-50\mid :\left(-10\right)$  

$x=5$

wtedy 

$h^2=169-x^2$  

$h^2=169-5^2$  

$h^2=144\text{i}h>0$  

więc

$h=12$  

Obliczamy pole trapezu

$P=\frac{\left(a+b\right)\cdot h}{2}=\frac{\left(11+6\right)\cdot 12}{2}=17\cdot 6=102\left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

d)

Wiadomo, że 

$a=28\text{cm},b=7\text{cm},c=17\text{cm},d=10\text{cm}$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym AED mamy 

$x^2+h^2=d^2$  

$x^2+h^2={10}^2$  

$h^2=100-x^2\left(\text{*}\right)$  

Zauważmy, że 

$y=a-\left(x+b\right)=28-\left(x+7\right)=21-x$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym BCF mamy 

$y^2+h^2=c^2$  

${\left(21-x\right)}^2+h^2={17}^2$  

Korzystając z (*) mamy

$441-42x+x^2+100-x^2=289$  

$-42x=-252\mid :\left(-42\right)$  

$x=6$  

wtedy 

$h^2=100-x^2$  

$h^2=100-6^2$  

$h^2=64\text{i}h>0$  

więc

$h=8$  

Obliczamy pole trapezu

$P=\frac{\left(a+b\right)\cdot h}{2}=\frac{\left(28+7\right)\cdot 8}{2}=35\cdot 4=140\left[{\text{cm}}^2\right]$