Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi 

---

Odcinki AE i AF dzielą kąt BAD na trzy równe kąty, czyli 

$\left|\sphericalangle EAD\right|=\left|\sphericalangle FAE\right|=\left|\sphericalangle BAF\right|={30}^{\circ }$  

---

Rozważmy trójkąt ABF. 

Zauważmy, że jest to trójkąt o kątach 30°, 60° i 90°. 

Korzystając z zależności między długościami boków w tym trójkącie dostajemy 

$\left|AF\right|=\frac{2\cdot \left|AB\right|}{\sqrt{3}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}$  

---

Trójkąty ABF i AED są przystające (cecha kąt-bok-kąt), czyli

$\left|AE\right|=\left|AF\right|=\frac{2a}{\sqrt{3}}$  

---

Rozważmy trójkąt AEF. 

Korzystając z twierdzenia cosinusów dostajemy 

${\left|EF\right|}^2={\left|AF\right|}^2+{\left|AE\right|}^2-2\cdot \left|AE\right|\cdot \left|AF\right|\cdot \cos {30}^{\circ }$  

$b^2={\left(\frac{2a}{\sqrt{3}}\right)}^2+{\left(\frac{2a}{\sqrt{3}}\right)}^2-2\cdot \frac{2a}{\sqrt{3}}\cdot \frac{2a}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$  

$b^2=\frac{4a^2}{3}+\frac{4a^2}{3}-\frac{4\sqrt{3}{a}^2}{3}$  

$b^2=\frac{8a^2-4\sqrt{3}{a}^2}{3}\mid \cdot 3$  

$3b^2=8a^2-4\sqrt{3}{a}^2$  

$3b^2=4a^2\left(2-\sqrt{3}\right)$  

c.n.d.