Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku 

---

Rozważmy trójkąt ABC o kątach 30°, 60° i 90°. 

Korzystając z zależności między długościami boków w trójkącie o tych kątach dostajemy

$\left|AB\right|=\left|BC\right|\cdot \sqrt{3}$  

$a+2=a\cdot \sqrt{3}$  

$2=a\cdot \sqrt{3}-a$  

$2=a\left(\sqrt{3}-1\right)\mid :\left(\sqrt{3}-1\right)$   

$\frac{2}{\sqrt{3}-1}=a$  

usuwając niewymierność z mianownika ułamka dostajemy 

$a=\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{2}{\sqrt{3}-1}\cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}=\frac{2\cdot \left(\sqrt{3}+1\right)}{{\sqrt{3}}^2-1^2}=$  

$=\frac{2\cdot \left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}=\frac{2\cdot \left(\sqrt{3}+1\right)}{2}=\sqrt{3}+1$  

---

Wyznaczamy długości boków prostokąta 

• $\left|BC\right|=\left|AD\right|=a=\sqrt{3}+1$  
  
  
• $\left|AB\right|=\left|CD\right|=a+2=\sqrt{3}+1+2=\sqrt{3}+3$  

 

Odp. Długości boków prostokąta są równe √3+1 oraz √3+3.