Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku 

Wysokości DE i CF dzielą trapez równoramienny ABCD na prostokąt CDEF i dwa przystające trójkąty prostokątne AED i BCF. 

Czworokąt CDEF jest prostokątem, więc 

• $\left|EF\right|=\left|CD\right|=b$  

Trójkąty AED i BCF są przystające więc 

• $\left|AE\right|=\left|FB\right|=\frac{\left|AB\right|-\left|EF\right|}{2}=\frac{a-b}{2}$  

Wiadomo, że

$\left|EB\right|=\left|BC\right|$

skąd dostajemy 

$\left|EF\right|+\left|FB\right|=\left|BC\right|$   

$b+\frac{a-b}{2}=c$  

$\frac{2b+a-b}{2}=c$  

$\frac{a+b}{2}=c$  

Rozważmy trójkąt prostokątny AED. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dostajemy 

${\left|AE\right|}^2+{\left|DE\right|}^2={\left|AD\right|}^2$  

${\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2+h^2={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$  

$\frac{{\left(a-b\right)}^2}{4}+h^2=\frac{{\left(a+b\right)}^2}{4}\mid \cdot 4$  

${\left(a-b\right)}^2+4h^2={\left(a+b\right)}^2$  

$a^2-2ab+b^2+4h^2=a^2+2ab+b^2$  

$4h^2=4ab\mid :4$  

$h^2=ab\mid \sqrt{}$  

$h=\sqrt{ab}$  

Otrzymaliśmy więc, że wysokość jest średnią geometryczną długości podstaw trapezu. 

c.n.d.