Wprowadźmy oznaczenia:

x - liczba książek na górnej półce (x ∈ N₊);

y - liczba książek na dolnej półce (y ∈ N₊).

---

Wiadomo, że łącznie na półkach są 42 książki, czyli 

$x+12+y=42$  

$y=30-x$  

---

Ciąg (x, 12, y) jest rosnącym ciągiem geometrycznym. 

Korzystając z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego dostajemy 

${12}^2=x\cdot y$

$144=x\cdot \left(30-x\right)$   

$144=30x-x^2$  

$x^2-30x+144=0$  

$\Delta ={\left(-30\right)}^2-4\cdot 1\cdot 144=900-576=324$  

$\sqrt{\Delta }=18$  

$x_1=\frac{30-18}{2}=6$  

$x_2=\frac{30+18}{2}=24$  

Zatem otrzymujemy, że 

•  dla x = 6 

$y=30-6=24$  

otrzymany ciąg (6, 12, 24) jest rosnący. 

• dla x = 24 mamy 

$y=30-24=6$  

otrzymany ciąg (24, 12, 6) jest malejący- czyli ten przypadek odrzucamy. 

 

Odp. Na górnej półce stoi 6 książek, na dolnej stoją 24 książki.