a) 

O nieskończonym ciągu arytmetycznym (a_n) wiadomo, że 

$S_8=17$  

$S_{13}=32$  

Zauważmy, że

$S_8=a_1+a_2+\dots +a_8$  

$S_{13}=a_1+a_2+\dots +a_8+a_9+a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13}$  

czyli 

$a_9+a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13}=S_{13}-S_8=32-17=15$  

---

b)

Przypomnijmy, że ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg (an), w którym każdy wyraz, oprócz pierwszego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego tej samej liczby.

Oznaczmy przez r różnicę ciągu (a_n).

Zauważmy, że korzystając z określenia ciągu arytmetycznego mamy 

$a_9=a_{11}-2r$  

$a_{10}=a_{11}-r$  

$a_{12}=a_{11}+r$  

$a_{13}=a_{11}+2r$  

Korzystając z obliczeń z podpunktu a) otrzymujemy 

$a_9+a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13}=15$  

$\left(a_{11}-2r\right)+\left(a_{11}-r\right)+a_{11}+\left(a_{11}+r\right)+\left(a_{11}+2r\right)=15$  

$5a_{11}=15\mid :5$  

$a_{11}=3$  

---

c)

Przypomnijmy, że w ciągu arytmetycznym każdy wyraz tego ciągu (oprócz pierwszego i ostatniego wyrazu- jeśli taki istnieje) jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego.

Korzystając z przypomnianego wyżej twierdzenia dostajemy 

$\frac{a_{10}+a_{12}}{2}=a_{11}$  

$\frac{a_{10}+a_{12}}{2}=3\mid \cdot 2$  

$a_{10}+a_{12}=6$  

Zatem mamy 

$a_{10}+a_{11}+a_{12}=\underset{=6}{\underbrace{a_{10}+a_{12}}}+3=6+3=9$