Ciąg (an) nazywamy ciągiem rosnącym wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwa jest nierówność an+1 > an.

---

a)

Założenie:

$a_n=\sqrt{3}n+1,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Teza:

$a_{n+1}>a_n$  

Dowód:

Wyznaczamy wyraz a_n+1 i otrzymujemy 

$a_{n+1}=\sqrt{3}\cdot \left(n+1\right)+1$  

Zbadamy znak różnicy a_n+1 - a_n dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej n. 

Otrzymujemy:

$a_{n+1}-a_n=\sqrt{3}\left(n+1\right)+1-\left(\sqrt{3}n+1\right)=$   

$=\sqrt{3}n+\sqrt{3}+1-\sqrt{3}n-1=\sqrt{3}>0$  

czyli 

$a_{n+1}-a_n>0$  

$a_{n+1}>a_n$  

czyli ciąg (a_n) jest rosnący. 

c.n.d.

---

b)

Założenie:

$a_n=1-\frac{4}{n+1},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Teza:

$a_{n+1}>a_n$  

Dowód:

Wyznaczamy wyraz a_n+1 i otrzymujemy 

$a_{n+1}=1-\frac{4}{\left(n+1\right)+1}=1-\frac{4}{n+2}$  

Zbadamy znak różnicy a_n+1 - a_n dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej n. 

Otrzymujemy:

$a_{n+1}-a_n=1-\frac{4}{n+2}-\left(1-\frac{4}{n+1}\right)=-\frac{4}{n+2}+\frac{4}{n+1}=$  

$=\frac{-4\left(n+1\right)+4\left(n+2\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}=\frac{-4n-4+4n+8}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}=\frac{4}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}>0$  

czyli 

$a_{n+1}-a_n>0$  

$a_{n+1}>a_n$  

czyli ciąg (a_n) jest rosnący. 

c.n.d.

---

c)

Założenie:

$a_n=n^2-n-2,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Teza:

$a_{n+1}>a_n$  

Dowód:

Wyznaczamy wyraz a_n+1 i otrzymujemy 

$a_{n+1}={\left(n+1\right)}^2-\left(n+1\right)-2=n^2+2n+1-n-1-2=n^2+n-2$  

Zbadamy znak różnicy a_n+1 - a_n dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej n. 

Otrzymujemy:

$a_{n+1}-a_n=\left(n^2+n-2\right)-\left(n^2-n-2\right)=n^2+n-2-n^2+n+2=2n>0$  

czyli 

$a_{n+1}-a_n>0$  

$a_{n+1}>\left(a_n\right)$  

czyli ciąg (a_n) jest rosnący. 

c.n.d.

---

d)

Założenie:

$a_n=\frac{10n+4}{2n+1},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Teza:

$a_{n+1}>a_n$  

Dowód:

Wyznaczamy wyraz a_n+1 i otrzymujemy 

$a_{n+1}=\frac{10\left(n+1\right)+4}{2\left(n+1\right)+1}=\frac{10n+14}{2n+3}$  

Zbadamy znak różnicy a_n+1 - a_n dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej n. 

Otrzymujemy:

$a_{n+1}-a_n=\frac{10n+14}{2n+3}-\frac{10n+4}{2n+1}=\frac{\left(10n+14\right)\left(2n+1\right)-\left(10n+4\right)\cdot \left(2n+3\right)}{\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)}=$  

$=\frac{20n^2+10n+28n+14-\left(20n^2+30n+8n+12\right)}{\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)}=\frac{2}{\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)}>0$   

czyli

$a_{n+1}-a_n>0$  

$a_{n+1}>a_n$   

czyli ciąg (a_n) jest rosnący. 

c.n.d.