Wykaż, że jeśli...- Zadanie 21: Matematyka 3. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

Założenie:

$a \neq = - b \land a \neq = b \land b \neq = 2 a$

Teza:

$[(\frac{4}{a + b} + \frac{4 a}{a ^{3} + b ^{3}} \cdot \frac{a ^{2} - a b + b ^{2}}{a - b}) : \frac{2 a - b}{a ^{2} + 2 a b + b ^{2}}] \cdot \frac{a - b}{4} = a + b$

Dowód:

Przekształcając lewą stronę podanej równości dostajemy

$L = [(\frac{4}{a + b} + \frac{4 a}{a ^{3} + b ^{3}} \cdot \frac{a ^{2} - a b + b ^{2}}{a - b}) : \frac{2 a - b}{a ^{2} + 2 a b + b ^{2}}] \cdot \frac{a - b}{4} =$

$= [(\frac{4}{a + b} + \frac{4 a}{( a + b ) \cdot ( a ^{2} - a b + b ^{2} ) _{1}} \cdot \frac{a ^{2} - a b + b ^{2} ^{1}}{a - b}) : \frac{2 a - b}{( a + b ) ^{2}}] \cdot \frac{a - b}{4} =$

$= [(\frac{4}{a + b} + \frac{4 a}{( a + b ) ( a - b )}) \cdot \frac{( a + b ) ^{2}}{2 a - b}] \cdot \frac{a - b}{4} = \frac{4 ( a - b ) + 4 a}{( a + b ) \cdot ( a - b )} \cdot \frac{( a + b ) ^{2}}{2 a - b} \cdot \frac{a - b}{4} =$

$= \frac{8 a - 4 b}{( a + b ) ( a - b )} \cdot \frac{( a + b ) ^{2}}{2 a - b} \cdot \frac{a - b}{4} = \frac{4 ( 2 a - b ) \cdot ( a + b ) ^{2} \cdot ( a - b )}{4 \cdot ( a + b ) ( a - b ) ( 2 a - b )} = a + b = P$