a)

$\frac{12x^3+4x^2-3x-1}{2x-1}=0$  

Założenie:

$2x-1\ne 0$  

$x\ne \frac{1}{2}$  

 

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy 

$\frac{12x^3+4x^2-3x-1}{2x-1}=0\mid \cdot \left(2x-1\right)$  

$12x^3+4x^2-3x-1=0$  

$4x^2\left(3x+1\right)-\left(3x+1\right)=0$  

$\left(3x+1\right)\left(4x^2-1\right)=0$  

$3x+1=0\vee 4x^2-1=0$  

$x=-\frac{1}{3}{x}^2=\frac{1}{4}$  

$x=-\frac{1}{2}\vee x=\frac{1}{2}$  

uwzględniając założenie dostajemy, że równanie ma dwa rozwiązania 

$x\in \left\{-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}\right\}$  

---

b)

${\left(x-2\right)}^2=\frac{8}{2-x}$  

Założenie:

$2-x\ne 0$  

$x\ne 2$  

 

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy 

${\left(x-2\right)}^2=\frac{8}{2-x}\mid \cdot \left(2-x\right)$  

${\left(x-2\right)}^2\cdot \left(2-x\right)=8$  

${\left(x-2\right)}^2\cdot \left(-\left(x-2\right)\right)=8$  

$-{\left(x-2\right)}^3=8$  

${\left(x-2\right)}^3=-8\mid \sqrt[3]{}$  

$x-2=-2$  

$x=0$

---

c)

$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x^2+x+1}=\frac{3x}{x^3-1}$  

Założenie: 

$x-1\ne 0\wedge \underset{\Delta =-3<0}{x^2+x+1\ne 0}$  

$x\ne 1x\in \mathbb{R}$  

czyli 

$x\ne 1$  

 

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy 

$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x^2+x+1}=\frac{3x}{x^3-1^3}$  

$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x^2+x+1}=\frac{3x}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\mid \cdot \left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)$  

$x^2+x+1-\left(x-1\right)=3x$  

$x^2+x+1-x+1=3x$  

$x^2-3x+2=0$  

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1$  

$x_1=\frac{3-1}{2}=1$  

$x_2=\frac{3+1}{2}=2$  

uwzględniając założenie dostajemy, że równanie ma jedno rozwiązanie 

$x=2$  

---

d)

$\frac{x}{x+1}+\frac{3}{2}=\frac{2}{x}$  

Założenie:

$x+1\ne 0\wedge \backslash x\ne 0$  

$x\ne -1$  

czyli 

$x\in \mathbb{R}\backslash \left\{-1,0\right\}$  

 

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy 

$\frac{x}{x+1}+\frac{3}{2}=\frac{2}{x}\mid \cdot 2x\left(x+1\right)$  

$2x^2+3x\left(x+1\right)=4\left(x+1\right)$  

$2x^2+3x^2+3x=4x+4$  

$5x^2-x-4=0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 5\cdot \left(-4\right)=1+80=81$  

$\sqrt{\Delta }=9$  

$x_1=\frac{1-9}{2\cdot 5}=-\frac{8}{10}=-\frac{4}{5}$  

$x_2=\frac{1+9}{2\cdot 5}=1$  

czyli równanie ma dwa rozwiązania 

$x\in \left\{-\frac{4}{5},1\right\}$  

---

e)

$\frac{x+3}{x+2}+1=\frac{x^2}{x^2-4}-\frac{x-3}{2-x}$  

Założenie:

$x+2\ne 0\wedge x^2-4\ne 0\wedge 2-x\ne 0$  

$x\ne -2x^2\ne 4x\ne 2$  

$x\ne -2\wedge x\ne 2$  

czyli 

$x\in \mathbb{R}\backslash \left\{-2,2\right\}$  

 

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy 

$\frac{x+3}{x+2}+1=\frac{x^2}{x^2-4}-\frac{x-3}{2-x}$  

$\frac{x+3}{x+2}+1=\frac{x^2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\frac{x-3}{-\left(x-2\right)}\mid \cdot \left(x-2\right)\left(x+2\right)$  

$\left(x+3\right)\left(x-2\right)+\left(x-2\right)\left(x+2\right)=x^2+\left(x-3\right)\left(x+2\right)$  

$x^2+x-6+x^2-4=x^2+x^2-x-6$  

$2x=4\mid :2$  

$x=2$  

uwzględniając założenie dostajemy, że równanie nie ma rozwiązania (jest sprzeczne).

---

f)

$\frac{1}{6}{x}^2-\frac{1-2x}{x-6}=\frac{x}{6x-36}$  

Założenie:

$x-6\ne 0\wedge 6x-36\ne 0$  

$x\ne 66x\ne 36$  

$x\ne 6$  

więc

$x\in \mathbb{R}\backslash \left\{6\right\}$  

 

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy 

$\frac{1}{6}{x}^2-\frac{1-2x}{x-6}=\frac{x}{6x-36}$  

$\frac{x^2}{6}-\frac{1-2x}{x-6}=\frac{x}{6\left(x-6\right)}\mid \cdot 6\left(x-6\right)$  

$x^2\left(x-6\right)-6\left(1-2x\right)=x$  

$x^3-6x^2-6+12x=x$  

$x^3-6x^2+11x-6=0$   

$x^3-x^2-5x^2+5x+6x-6=0$  

$x^2\left(x-1\right)-5x\left(x-1\right)+6\left(x-1\right)=0$  

$\left(x-1\right)\left(x^2-5x+6\right)=0$  

$x-1=0\vee \underset{\Delta =1,\sqrt{\Delta }=1}{x^2-5x+6=0}$  

$x=1x=2\vee x=3$  

czyli równanie ma trzy rozwiązania

$x\in \left\{1,2,3\right\}$