a)

• $f\left(x\right)=\frac{2}{x-3},x\ne 3$   

Zauważmy, że wykres funkcji f otrzymujemy przesuwając równolegle wykres funkcji y = ²/_x o wektor [3,0] (o trzy jednostki w prawo).

• Wykres funkcji y = ²/_x

Przesuwając wykres funkcji y = ²/_x  o trzy jednostki w prawo otrzymujemy wykres funkcji f.

• Wykres funkcji y = f(x).

 

• $g\left(x\right)=\frac{-x-2}{x}=\frac{-x}{x}-\frac{2}{x}=-1-\frac{2}{x}=\frac{-2}{x}-1,x\ne 0$  

Zauważmy, że wykres funkcji g otrzymujemy przesuwając równolegle wykres funkcji y = ^-2/_x o wektor [0,-1] (o jedną jednostkę w dół).

• Wykres funkcji y = ^-2/_x

Przesuwając wykres funkcji y = ^-2/_x  o jedną jednostkę w dół otrzymujemy wykres funkcji g.

• Wykres funkcji y = g(x).

 

Szkicujemy wykresy funkcji y = f(x) i y = g(x) w jednym układzie współrzędnych i otrzymujemy 

---

b)

Obliczamy współrzędne punktów, w których przecinają się wykresy funkcji y=f(x) i y=g(x). 

Otrzymujemy 

$\{\begin{array}{ll}y=\frac{2}{x-3}& x\ne 3\\ y=\frac{-x-2}{x}& x\ne 0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{-x-2}{x}=\frac{2}{x-3}\mid \cdot x\left(x-3\right)\\ y=\frac{-x-2}{x}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left(-x-2\right)\cdot \left(x-3\right)=2x\\ y=\frac{-x-2}{x}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-x^2+3x-2x+6=2x\\ y=\frac{-x-2}{x}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-x^2-x+6=0\\ y=\frac{-x-2}{x}\end{array}$  

rozwiązujemy pierwsze równanie i otrzymujemy 

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 6=1+24=25$  

$\sqrt{\Delta }=5$  

$x_1=\frac{1-5}{-2}=2$  

$x_2=\frac{1+5}{-2}=-3$  

zatem 

• dla x = 2 mamy 

$y=\frac{-x-2}{x}=\frac{-2-2}{2}=-\frac{4}{2}=-2$  

• dla x = -3 mamy 

$y=\frac{-x-2}{x}=\frac{3-2}{-3}=-\frac{1}{3}$  

czyli wykresy funkcji f i g przecinają się w punktach 

$\left(2,-2\right),\left(-3,-\frac{1}{3}\right)$