Przesuwając wykres funkcji y = f(x) o wektor [p,q] otrzymujemy wykres funkcji g(x) = f(x - p) + q.

---

a) 

Przesuwając wykres funkcji y = ³/_x , x ≠ 0, o wektor [2, -4] otrzymujemy wykres funkcji g, danej wzorem 

$g\left(x\right)=\frac{3}{x-2}-4$  

Dziedzina:

$x-2\ne 0$  

$x\ne 2$  

czyli

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{2\right\}$  

---

b)

Zauważmy, że asymptotą pionową funkcji g jest prosta x = 2,

asymptotą poziomą wykresu funkcji g jest prosta y = -4. 

Środkiem S symetrii wykresu funkcji g jest punkt przecięcia prostych x = 2 i y = -4, czyli 

$S=\left(2,-4\right)$  

---

c)

Obliczamy współrzędne punktu przecięcia funkcji g z osią OX:

$\frac{3}{x-2}-4=0$  

$\frac{3}{x-2}=4\mid \cdot \left(x-2\right)$  

$3=4\left(x-2\right)$  

$3=4x-8$  

$-4x=-11$

$x=\frac{11}{4}=2\frac{3}{4}$  

czyli punkt przecięcia funkcji g z osią OX ma współrzędne (2³/₄, 0).

 

Obliczamy współrzędne punktu przecięcia funkcji g z osią OY:

$y=\frac{3}{0-2}-4=-\frac{3}{2}-4=-5\frac{1}{2}$  

czyli punkt przecięcia funkcji g z osią OY ma współrzędne (0, -5¹/₂).

---

d)

Szkicujemy wykres funkcji 

$y=\frac{3}{x}$  

w poniższej tabelce obliczamy wartości funkcji dla kilku wybranych argumentów 

$x$	$-3$	$-1$	$1$	$3$
$y=\frac{3}{x}$	$-1$	$-3$	$3$	$1$

 

Szkicujemy wykres funkcji i otrzymujemy 

Przesuwając wykres funkcji y = ³/_x o wektor [2, -4] otrzymujemy wykres funkcji g postaci

Korzystając z wykresu dostajemy i obliczeń z poprzednich podpunktów dostajemy:

• Dziedzina funkcji D = R\{2};
• Zbiór wartości funkcji: Z_w = R\{-4};
• Miejsce zerowe funkcji: x = 2³/₄;
• Asymptotą pionową wykresu funkcji jest prosta x = 2, asymptotą poziomą wykresu funkcji jest prosta y = -4;
• Monotoniczność: funkcja malejąca w każdym z przedziałów (-oo, 2), (2,+oo);
• Funkcja przyjmuje wartości ujemne (g(x)<0) dla x ∈ (-oo, 2) uu (2³/₄, +oo);
• Funkcja przyjmuje wartości dodatnie (g(x)>0) dla x ∈ (2, 2³/₄).