Z równania prostych możemy odczytać, że nie są one równoległe, więc na pewno się przecinają.

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych:

$\{\begin{array}{l}x-2y+10=0\\ x+y+k=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2y-10\\ x+y+k=0\end{array}$  

Podstawiamy x=2y-10 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x=2y-10\\ 2y-10+y+k=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2y-10\\ 3y=10-k\mid :3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2y-10\\ y=\frac{10}{3}-\frac{1}{3}k\end{array}$  

Podstawiamy y=¹⁰/₃-¹/₃k do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x=2\left(\frac{10}{3}-\frac{1}{3}k\right)-10\\ y=\frac{10}{3}-\frac{1}{3}k\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=\frac{20}{3}-\frac{2}{3}k-\frac{30}{3}\\ y=\frac{10}{3}-\frac{1}{3}k\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-\frac{2}{3}k-\frac{10}{3}\\ y=-\frac{1}{3}k+\frac{10}{3}\end{array}$  

Proste przecinają się w punkcie

$P\left(-\frac{2}{3}k-\frac{10}{3},-\frac{1}{3}k+\frac{10}{3}\right)$  

---

Sprawdzamy, dla jakich wartości parametru k punkt P należy do okręgu:

${\left(-\frac{2}{3}k-\frac{10}{3}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{3}k+\frac{10}{3}\right)}^2=100$  

$\frac{4}{9}{k}^2+\frac{40}{9}k+\frac{100}{9}+\frac{1}{9}{k}^2-\frac{20}{9}k+\frac{100}{9}=100$  

$\frac{5}{9}{k}^2+\frac{20}{9}k+\frac{200}{9}=\frac{900}{9}$  

$\frac{5}{9}{k}^2+\frac{20}{9}k-\frac{700}{9}=0\mid \cdot \frac{9}{5}$  

$k^2+4k-140=0$  

$\Delta =16+560=576,\sqrt{\Delta }=24$  

$k=\frac{-4-24}{2}=\frac{-28}{2}=-14\text{lub}k=\frac{-4+24}{2}=\frac{20}{2}=10$  

---

Zatem proste oraz okrąg mają jeden punkt wspólny, gdy

$k\in \left\{-14,10\right\}$