Punkt P jest środkiem odcinka AB, więc ze wzoru na współrzędne środka odcinka możemy wyznaczyć współrzędne punktu B:

$\{\begin{array}{l}\frac{x_A+x_B}{2}=x_P\\ \frac{y_A+y_B}{2}=y_P\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{0+x_B}{2}=0\\ \frac{0+y_B}{2}=-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{x_B}{2}=0\mid \cdot 2\\ \frac{y_B}{2}=-3\mid \cdot 2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_B=0\\ y_B=-6\end{array}$  

Zatem:

$B\left(0,-6\right)$  

---

Zapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie A(0, 0) i promieniu r=3√5:

$x^2+y^2={\left(3\sqrt{5}\right)}^2$  

$x^2+y^2=45$  

Zapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie B(0, -6) i promieniu r=3√5:

$x^2+{\left(y+6\right)}^2={\left(3\sqrt{5}\right)}^2$  

$x^2+{\left(y+6\right)}^2=45$  

---

Wyznaczamy współrzędne punktów przecięcia okręgów:

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=45\mid \cdot \left(-1\right)\\ x^2+{\left(y+6\right)}^2=45\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-x^2-y^2=-45\\ x^2+{\left(y+6\right)}^2=45\end{array}$  

Dodajemy równania stronami.

${\left(y+6\right)}^2-y^2=0$  

$y^2+12y+36-y^2=0$  

$12y=-36\mid :12$  

$y=-3$  

Podstawiamy y=-3 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=45\\ y=-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(-3\right)}^2=45\\ y=-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2+9=45\\ y=-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2=36\\ y=-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-6\text{lub}x=6\\ y=-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-6\\ y=-3\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=6\\ y=-3\end{array}$  

Okręgi przecinają się w punktach:

$P\left(-6,-3\right),Q\left(6,-3\right)$  

---

Obliczamy odległość między tymi punktami:

$\left|PQ\right|=\sqrt{{\left(6+6\right)}^2+{\left(-3+3\right)}^2}=\sqrt{{12}^2+0}=\sqrt{144}=12$