Dwa okręgi o środkach S1 i S2 i promieniach odpowiednio r1 i r2: są rozłączne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |S1S2| > r1 + r2. są styczne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |S1S2| = r1 + r2. przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy |r1 - r2| < |S1S2| < r1 + r2. są styczne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |S1S2| =|r1 - r2|≠ 0.  są rozłączne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |S1S2| < |r1 - r2|.

---

Odczytujemy współrzędne środka i długość promienia okręgu O₁:

$S_1\left(1,5\right),R=\sqrt{5}$  

---

Promień okręgu O₂ ma długość:

$r=2\sqrt{5}$  

---

Przekształcamy równanie danej prostej do postaci kierunkowej:

$x-y+1=0$  

$x+1=y$  

$y=x+1$  

---

Punkt S₂ leży na prostej y=x+1, więc jego współrzędne mają postać:

$S_2\left(a,a+1\right)$  

---

Okręgi O₁ i O₂ są styczne zewnętrznie, więc:

$\left|S_1{S}_2\right|=R+r$  

$\sqrt{{\left(a-1\right)}^2+{\left(a+1-5\right)}^2}=\sqrt{5}+2\sqrt{5}$  

$\sqrt{{\left(a-1\right)}^2+{\left(a-4\right)}^2}=3\sqrt{5}\mid {}^2$  

${\left(a-1\right)}^2+{\left(a-4\right)}^2=45$  

$a^2-2a+1+a^2-8a+16=45$  

$2a^2-10a-28=0\mid :2$  

$a^2-5a-14=0$  

$\Delta =25+56=81,\sqrt{\Delta }=9$  

$a=\frac{5-9}{2}=\frac{-4}{2}=-2\text{lub}a=\frac{5+9}{2}=\frac{14}{2}=7$  

---

• $\text{dla}a=-2:$  

$a+1=-2+1=-1$  

$S_2\left(-2,-1\right)$  

Niech prosta S₁S₂ dana będzie równaniem:

$y=bx+c$  

Podstawiamy współrzędne punktów S₁ i S₂ do równania prostej i wyznaczamy współczynniki b i c.

$\{\begin{array}{l}b+c=5\\ -2b+c=-1\mid \cdot \left(-1\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b+c=5\\ 2b-c=1\end{array}$  

Dodajemy równania stronami.

$3b=6\mid :3$  

$b=2$  

Podstawiamy b=2 do dowolnego równania w układzie i wyznaczamy c.

$\{\begin{array}{l}b=2\\ b+c=5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=2\\ 2+c=5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=2\\ c=3\end{array}$  

Otrzymujemy:

$y=2x+3$  

Przekształcamy równanie prostej S₁S₂ do postaci ogólnej:

$y=2x+3$  

$2x-y+3=0$  

Obliczamy odległość początku układu współrzędnych, czyli punktu O(0, 0), od prostej S₁S₂: 2x-y+3=0:

$d=\frac{\left|2\cdot 0+\left(-1\right)\cdot 0+3\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\left|3\right|}{\sqrt{4+1}}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$  

• $\text{dla}a=7:$  

$a+1=7+1=8$  

$S_2\left(7,8\right)$  

Niech prosta S₁S₂ dana będzie równaniem:

$y=bx+c$  

Podstawiamy współrzędne punktów S₁ i S₂ do równania prostej i wyznaczamy współczynniki b i c.

$\{\begin{array}{l}b+c=5\\ 7b+c=8\mid \cdot \left(-1\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b+c=5\\ -7b-c=-8\end{array}$  

Dodajemy równania stronami.

$-6b=-3\mid :\left(-6\right)$  

$b=\frac{1}{2}$  

Podstawiamy b=¹/₂ do dowolnego równania w układzie i wyznaczamy c.

$\{\begin{array}{l}b=\frac{1}{2}\\ b+c=5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}+c=5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=\frac{1}{2}\\ c=4\frac{1}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=\frac{1}{2}\\ c=\frac{9}{2}\end{array}$  

Otrzymujemy:

$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$  

Przekształcamy równanie prostej S₁S₂ do postaci ogólnej:

$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$  

$\frac{1}{2}x-y+\frac{9}{2}=0\mid \cdot 2$  

$x-2y+9=0$  

Obliczamy odległość początku układu współrzędnych, czyli punktu O(0, 0), od prostej S₁S₂: x-2y+9=0:

$d=\frac{\left|1\cdot 0+\left(-2\right)\cdot 0+9\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{\left|9\right|}{\sqrt{1+4}}=\frac{9}{\sqrt{5}}=\frac{9}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{9\sqrt{5}}{5}$  

---

$\text{Odp.}d=\frac{3\sqrt{5}}{5}\text{lub}d=\frac{9\sqrt{5}}{5}.$