Dwa okręgi o środkach S1 i S2 i promieniach odpowiednio r1 i r2: są rozłączne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |S1S2| > r1 + r2. są styczne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |S1S2| = r1 + r2. przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy |r1 - r2| < |S1S2| < r1 + r2. są styczne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |S1S2| =|r1 - r2|≠ 0.  są rozłączne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |S1S2| < |r1 - r2|.

---

a) Odczytujemy współrzędne środków i długości promieni okręgów O₁ i O₂:

$S_1\left(3,-1\right),r_1=2$  

$S_2\left(3,2\right),r_2=5$  

Obliczamy odległość między środkami okręgów:

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(3-3\right)}^2+{\left(2+1\right)}^2}=\sqrt{0+3^2}=\sqrt{9}=3$  

Obliczamy sumę i wartość bezwzględną różnicy długości promieni:

$r_1+r_2=2+5=7$  

$\left|r_1-r_2\right|=\left|2-5\right|=\left|-3\right|=3$  

Otrzymaliśmy, że

$\left|S_1{S}_2\right|=\left|r_1-r_2\right|=3\ne 0$  

więc okręgi O₁ i O₂ są styczne wewnętrznie (mają 1 punkt wspólny).

---

b) Odczytujemy współrzędne środków i długości promieni okręgów O₁ i O₂:

$S_1\left(-1,5\right),r_1=\sqrt{7}$  

$S_2\left(3,-2\right),r_2=2$  

Obliczamy odległość między środkami okręgów:

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(3+1\right)}^2+{\left(-2-5\right)}^2}=\sqrt{4^2+{\left(-7\right)}^2}=\sqrt{16+49}=\sqrt{65}\approx 8,06$  

Obliczamy sumę i wartość bezwzględną różnicy długości promieni:

$r_1+r_2=2+\sqrt{7}\approx 2+2,65=4,65$  

$\left|r_1-r_2\right|=\left|2-\sqrt{7}\right|\approx \left|2-2,65\right|=\left|-0,65\right|=0,65$  

Otrzymaliśmy, że

$\left|S_1{S}_2\right|>r_1+r_2$  

więc okręgi O₁ i O₂ są rozłączne zewnętrznie (nie mają punktów wspólnych).

---

c) Odczytujemy współrzędne środków i długości promieni okręgów O₁ i O₂:

$S_1\left(3,-1\right),r_1=2$  

$S_2\left(3,1\right),r_2=1$  

Obliczamy odległość między środkami okręgów:

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(3-3\right)}^2+{\left(1+1\right)}^2}=\sqrt{0+2^2}=\sqrt{4}=2$  

Obliczamy sumę i wartość bezwzględną różnicy długości promieni:

$r_1+r_2=2+1=3$  

$\left|r_1-r_2\right|=\left|2-1\right|=\left|1\right|=1$  

Otrzymaliśmy, że

$\left|r_1-r_2\right|<\left|S_1{S}_2\right|<r_1+r_2$  

więc okręgi O₁ i O₂ przecinają się (mają 2 punkty wspólne).

---

d) Odczytujemy współrzędne środków i długości promieni okręgów O₁ i O₂:

$S_1\left(-4,-2\right),r_1=\sqrt{29}$  

$S_2\left(6,2\right),r_2=\sqrt{29}$  

Obliczamy odległość między środkami okręgów:

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(6+4\right)}^2+{\left(2+2\right)}^2}=\sqrt{{10}^2+4^2}=\sqrt{100+16}=\sqrt{116}=2\sqrt{29}$  

Obliczamy sumę i wartość bezwzględną różnicy długości promieni:

$r_1+r_2=\sqrt{29}+\sqrt{29}=2\sqrt{29}$  

$\left|r_1-r_2\right|=\left|\sqrt{29}-\sqrt{29}\right|=0$  

Otrzymaliśmy, że

$\left|S_1{S}_2\right|=r_1+r_2$  

więc okręgi O₁ i O₂ są styczne zewnętrznie (mają 1 punkt wspólny).

---

e) Odczytujemy współrzędne środków i długości promieni okręgów O₁ i O₂:

$S_1\left(3,1\right),r_1=\sqrt{6}$  

$S_2\left(4,-3\right),r_2=\sqrt{5}$  

a

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(4-3\right)}^2+{\left(-3-1\right)}^2}=\sqrt{1^2+{\left(-4\right)}^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}\approx 4,12$  

Obliczamy sumę i wartość bezwzględną różnicy długości promieni:

$r_1+r_2=\sqrt{6}+\sqrt{5}\approx 2,45+2,24=4,71$  

$\left|r_1-r_2\right|=\left|\sqrt{6}-\sqrt{5}\right|\approx \left|2,45-2,24\right|=\left|0,21\right|=0,21$  

Otrzymaliśmy, że

$\left|r_1-r_2\right|<\left|S_1{S}_2\right|<r_1+r_2$  

więc okręgi O₁ i O₂ przecinają się (mają 2 punkty wspólne).