Odległość punktu P(x0, y0) od prostej l: Ax+By+C=0 wyraża się wzorem: $d=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

---

a) Obliczamy odległość punktu A od prostej l:

$d=\frac{\left|1\cdot p+\left(-1\right)\cdot 1+2\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\left|p-1+2\right|}{\sqrt{1+1}}=\frac{\left|p+1\right|}{\sqrt{2}}$  

Porównując otrzymany wynik z podaną odległością d, otrzymujemy:

$\frac{\left|p+1\right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\mid \cdot \sqrt{2}$  

$\left|p+1\right|=2$  

$p+1=-2\text{lub}p+1=2$  

$p=-3\text{lub}p=1$  

$p\in \left\{-3,1\right\}$  

---

b) Obliczamy odległość punktu A od prostej l:

$d=\frac{\left|2\cdot \left(-3\right)+\left(-3\right)\cdot p+1\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-3\right)}^2}}=\frac{\left|-6-3p+1\right|}{\sqrt{4+9}}=\frac{\left|-3p-5\right|}{\sqrt{13}}=\frac{\left|3p+5\right|}{\sqrt{13}}$  

Porównując otrzymany wynik z podaną odległością d, otrzymujemy:

$\frac{\left|3p+5\right|}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}\mid \cdot \sqrt{13}$  

$\left|3p+5\right|=\frac{2\cdot 13}{13}$  

$\left|3p+5\right|=2$  

$3p+5=-2\text{lub}3p+5=2$  

$3p=-7\text{lub}3p=-3\mid :3$  

$p=-\frac{7}{3}\text{lub}p=-1$  

$p\in \left\{-\frac{7}{3},-1\right\}$  

---

c) Obliczamy odległość punktu A od prostej l:

$d=\frac{\left|2\cdot p+\sqrt{5}\cdot \left(-1\right)+\left(-1\right)\right|}{\sqrt{2^2+{\left(\sqrt{5}\right)}^2}}=\frac{\left|2p-\sqrt{5}-1\right|}{\sqrt{4+5}}=\frac{\left|2p-\sqrt{5}-1\right|}{\sqrt{9}}=\frac{\left|2p-\sqrt{5}-1\right|}{3}$  

Porównując otrzymany wynik z podaną odległością d, otrzymujemy:

$\frac{\left|2p-\sqrt{5}-1\right|}{3}=\frac{3-\sqrt{5}}{3}\mid \cdot 3$  

$\left|2p-\sqrt{5}-1\right|=3-\sqrt{5}$  

$2p-\sqrt{5}-1=3-\sqrt{5}\text{lub}2p-\sqrt{5}-1=-\left(3-\sqrt{5}\right)$  

$2p=4\mid :2\text{lub}2p-\sqrt{5}-1=-3+\sqrt{5}$  

$p=2\text{lub}2p=2\sqrt{5}-2\mid :2$  

$p=2\text{lub}p=\sqrt{5}-1$  

$p\in \left\{\sqrt{5}-1,2\right\}$  

---

d) Obliczamy odległość punktu A od prostej l:

$d=\frac{\left|4\cdot p+3\cdot p+13\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{\left|7p+13\right|}{\sqrt{16+9}}=\frac{\left|7p+13\right|}{\sqrt{25}}=\frac{\left|7p+13\right|}{5}$  

Porównując otrzymany wynik z podaną odległością d, otrzymujemy:

$\frac{\left|7p+13\right|}{5}=\frac{1}{5}\mid \cdot 5$  

$\left|7p+13\right|=1$  

$7p+13=-1\text{lub}7p+13=1$  

$7p=-14\text{lub}7p=-12\mid :7$  

$p=-2\text{lub}p=-\frac{12}{7}$  

$p\in \left\{-2,-\frac{12}{7}\right\}$