Odległość między punktami A(xA, yA) i B(xB, yB) w prostokątnym układzie współrzędnych wyraża się za pomocą wzoru: $\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$

---

a) Obliczamy, dla jakiego argumentu prosta y=-x+2 przecina oś X, czyli miejsce zerowe funkcji y=-x+2:

$-x+2=0$  

$x=2$  

Zatem jednym z wierzchołków trójkąta jest punkt

$A\left(2,0\right)$  

---

Obliczamy, dla jakiego argumentu prosta y=2x+8 przecina oś X, czyli miejsce zerowe funkcji y=2x+8:

$2x+8=0$  

$2x=-8\mid :2$  

$x=-4$  

Zatem drugim wierzchołkiem trójkąta jest punkt

$B\left(-4,0\right)$  

---

Obliczamy współrzędne trzeciego wierzchołka trójkąta, czyli współrzędne punktu przecięcia prostych y=-x+2 i y=2x+8:

$\{\begin{array}{l}y=-x+2\\ y=2x+8\end{array}$  

Podstawiamy y=2x+8 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}2x+8=-x+2\\ y=2x+8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3x=-6\mid :3\\ y=2x+8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=2x+8\end{array}$  

Podstawiamy x=-2 do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=2\cdot \left(-2\right)+8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-4+8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=4\end{array}$  

Trzecim wierzchołkiem trójkąta jest punkt

$C\left(-2,4\right)$  

---

Otrzymaliśmy, że wierzchołkami trójkąta są punkty:

$A\left(2,0\right),B\left(-4,0\right),C\left(-2,4\right)$  

---

Obliczamy długości boków trójkąta:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(-4-2\right)}^2+0}=\sqrt{{\left(-6\right)}^2}=\left|-6\right|=6$  

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(-2-2\right)}^2+{\left(4-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+4^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}$  

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(-2-\left(-4\right)\right)}^2+{\left(4-0\right)}^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$  

---

Obliczamy obwód trójkąta:

$L=\left|AB\right|+\left|AC\right|+\left|BC\right|=6+4\sqrt{2}+2\sqrt{5}=2\left(3+2\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)$  

---

Aby obliczyć pole trójkąta, skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta o znanych wierzchołkach.

Pole trójkąta o wierzchołkach A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC) dane jest wzorem: $P_{\text{ABC}}=\frac{1}{2}\left|\left(x_B-x_A\right)\left(y_C-y_A\right)-\left(y_B-y_A\right)\left(x_C-x_A\right)\right|$

Obliczamy pole trójkąta ABC:

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|\left(-4-2\right)\cdot \left(4-0\right)-0\cdot \left(-2-2\right)\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|-6\cdot 4\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|-24\right|=\frac{1}{2}\cdot 24=12$  

---

---

b) Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych y=¹/₂x+3 i y=-2x+8:

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+3\\ y=-2x+8\end{array}$  

Podstawiamy y=-2x+8 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}-2x+8=\frac{1}{2}x+3\\ y=-2x+8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-2\frac{1}{2}x=-5\\ y=-2x+8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-\frac{5}{2}x=-5\mid \cdot \left(-\frac{2}{5}\right)\\ y=-2x+8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-2x+8\end{array}$  

Podstawiamy x=2 do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-2\cdot 2+8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-4+8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4\end{array}$  

Zatem jednym z wierzchołków trójkąta jest punkt:

$A\left(2,4\right)$  

---

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych y=¹/₂x+3 i y=-⁴/₇x+⁶/₇:

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+3\\ y=-\frac{4}{7}x+\frac{6}{7}\end{array}$  

Podstawiamy y=-⁴/₇x+⁶/₇ do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}-\frac{4}{7}x+\frac{6}{7}=\frac{1}{2}x+3\mid \cdot 14\\ y=-\frac{4}{7}x+\frac{6}{7}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-8x+12=7x+42\\ y=-\frac{4}{7}x+\frac{6}{7}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-15x=30\mid :\left(-15\right)\\ y=-\frac{4}{7}x+\frac{6}{7}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-\frac{4}{7}x+\frac{6}{7}\end{array}$  

Podstawiamy x=-2 do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-\frac{4}{7}\cdot \left(-2\right)+\frac{6}{7}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=\frac{8}{7}+\frac{6}{7}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=\frac{14}{7}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=2\end{array}$  

Zatem drugim wierzchołkiem trójkąta jest punkt

$B\left(-2,2\right)$  

---

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych y=-⁴/₇x+⁶/₇ i y=-2x+8:

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{4}{7}x+\frac{6}{7}\\ y=-2x+8\end{array}$  

Podstawiamy y=-2x+8 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}-2x+8=-\frac{4}{7}x+\frac{6}{7}\mid \cdot 7\\ y=-2x+8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-14x+56=-4x+6\\ y=-2x+8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-10x=-50\mid :\left(-10\right)\\ y=-2x+8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=5\\ y=-2x+8\end{array}$  

Podstawiamy x=5 do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x=5\\ y=-2\cdot 5+8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=5\\ y=-10+8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=5\\ y=-2\end{array}$  

Trzecim wierzchołkiem trójkąta jest punkt

$C\left(5,-2\right)$  

---

Otrzymaliśmy, że wierzchołkami trójkąta są punkty:

$A\left(2,4\right),B\left(-2,2\right),C\left(5,-2\right)$  

---

Proste y=¹/₂x+3 i y=-2x+8 są prostopadłe, ponieważ iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1:

$\frac{1}{2}\cdot \left(-2\right)=-1$  

Wynika stąd, że trójkąt ABC jest prostokątny, co należało dowieść.

---

---

c) Niech szukana prosta dana będzie równaniem:

$y=ax+b$  

Wiemy, że prosta y=ax+b przecina oś X w punkcie (-^b/_a, 0) i oś Y w punkcie (0, b). Mamy więc sytuację jak na rysunku poniżej:

---

Punkt P(1, 3) należy do prostej, więc:

$3=a\cdot 1+b$  

$3=a+b$  

$a+b=3$  

---

Pole trójkąta ABC jest równe 6, więc:

$\frac{1}{2}\cdot \left|b\right|\cdot \left|-\frac{b}{a}\right|=6\mid \cdot 2$  

$\left|b\cdot \frac{-b}{a}\right|=12$  

$\left|-\frac{b^2}{a}\right|=12$  

$\left|\frac{b^2}{a}\right|=12$  

Prosta y=ax+b jest malejąca (gdyby była rosnąca lub stała, nie ograniczałaby trójkąta), więc a<0.

Kwadrat dowolnej liczby naturalnej jest liczbą nieujemną, więc b²⩾0.

Mamy więc:

$\frac{b^2}{a}\le 0$  

i stąd:

$\left|\frac{b^2}{a}\right|=-\frac{b^2}{a}$  

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$-\frac{b^2}{a}=12\mid \cdot \left(-a\right)$  

$b^2=-12a$  

---

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ i wyznaczamy z niego a oraz b.

$\{\begin{array}{l}a+b=3\\ b^2=-12a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=3-b\\ b^2=-12a\end{array}$  

Podstawiamy a=3-b do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}a=3-b\\ b^2=-12\left(3-b\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=3-b\\ b^2=-36+12b\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=3-b\\ b^2-12b+36=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=3-b\\ {\left(b-6\right)}^2=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=3-b\\ b-6=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=3-b\\ b=6\end{array}$  

Podstawiamy b=6 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}a=3-6\\ b=6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=6\end{array}$  

---

Otrzymujemy, że szukana prosta ma równanie:

$y=-3x+6$