Rozwiąż równanie.- Zadanie 39: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a) tg 4 x = 1$

Zakładamy, że tangens jest określony, czyli:

$4 x \neq = \frac{π}{2} + k π, k \in Z$

$x \neq = \frac{π}{8} + \frac{k π}{4}, k \in Z$

Rozwiązujemy równanie.

$tg 4 x = 1$

Podstawiamy 4x=t.

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$tg t = 1$

Szkicujemy wykres funkcji y=tgt i prostą y=1 we wspólnym układzie współrzędnych.

Z rysunku odczytujemy rozwiązania równania tgt=1.

$t = \frac{π}{4} + k π, k \in Z$

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$4 x = \frac{π}{4} + k π, k \in Z$

$x = \frac{π}{16} + \frac{k π}{4}, k \in Z$

$b) tg (2 x - \frac{π}{4}) = - 1$

Zakładamy, że tangens jest określony, czyli:

$2 x - \frac{π}{4} \neq = \frac{π}{2} + k π, k \in Z$

$2 x - \frac{π}{4} \neq = \frac{2 π}{4} + k π, k \in Z$

$2 x \neq = \frac{3 π}{4} + k π, k \in Z$

$x \neq = \frac{3 π}{8} + \frac{k π}{2}, k \in Z$

Rozwiązujemy równanie.

$tg (2 x - \frac{π}{4}) = - 1$

Podstawiamy 2x-^π/₄=t.

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$tg t = - 1$

Szkicujemy wykres funkcji y=tgt i prostą y=-1 we wspólnym układzie współrzędnych.

Z rysunku odczytujemy rozwiązania równania tgt=-1.

$t = - \frac{π}{4} + k π, k \in Z$

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$2 x - \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} + k π, k \in Z$

$2 x = k π, k \in Z$

$x = \frac{k π}{2}, k \in Z$

$c) tg (3 x + \frac{π}{6}) = 3$

Zakładamy, że tangens jest określony, czyli:

$3 x + \frac{π}{6} \neq = \frac{π}{2} + k π, k \in Z$

$3 x + \frac{π}{6} \neq = \frac{3 π}{6} + k π, k \in Z$

$3 x \neq = \frac{2 π}{6} + k π, k \in Z$

$3 x \neq = \frac{π}{3} + k π, k \in Z$

$x \neq = \frac{π}{9} + \frac{k π}{3}, k \in Z$

Rozwiązujemy równanie.

$tg (3 x + \frac{π}{6}) = 3$

Podstawiamy 3x+^π/₆=t.

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$tg t = 3$

Szkicujemy wykres funkcji y=tgt i prostą y=√3 we wspólnym układzie współrzędnych.

Z rysunku odczytujemy rozwiązania równania tgt=√3.

$t = \frac{π}{3} + k π, k \in Z$

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$3 x + \frac{π}{6} = \frac{π}{3} + k π, k \in Z$

$3 x + \frac{π}{6} = \frac{2 π}{6} + k π, k \in Z$

$3 x = \frac{π}{6} + k π, k \in Z$

$x = \frac{π}{18} + \frac{k π}{3}, k \in Z$

$d) 3 tg (\frac{π x}{2}) = - 1$

Zakładamy, że tangens jest określony, czyli:

$\frac{π x}{2} \neq = \frac{π}{2} + k π, k \in Z$

$\frac{x}{2} \neq = \frac{1}{2} + k, k \in Z$

$x \neq = 1 + 2 k, k \in Z$

Rozwiązujemy równanie.

$3 tg (\frac{π x}{2}) = - 1 ∣ : 3$

$tg (\frac{π x}{2}) = - \frac{1}{3}$

$tg (\frac{π x}{2}) = - \frac{3}{3}$

Podstawiamy $\frac{π x}{2} = t .$

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$tg t = - \frac{3}{3}$

Szkicujemy wykres funkcji y=tgt i prostą y=-^√3/₃ we wspólnym układzie współrzędnych.

Z rysunku odczytujemy rozwiązania równania tgt=-^√3/₃.

$t = - \frac{π}{6} + k π, k \in Z$

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$\frac{π x}{2} = - \frac{π}{6} + k π, k \in Z$

$\frac{x}{2} = - \frac{1}{6} + k, k \in Z$

$x = - \frac{1}{3} + 2 k, k \in Z$

$e) ctg (- 2 x) = 1$

$- ctg 2 x = - 1 ∣ \cdot (- 1)$

$ctg 2 x = - 1$

Zakładamy, że cotangens jest określony, czyli:

$2 x \neq = k π, k \in Z$

$x \neq = \frac{k π}{2}, k \in Z$

Rozwiązujemy równanie.

$ctg 2 x = - 1$

Podstawiamy 2x=t.

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$ctg t = - 1$

Szkicujemy wykres funkcji y=ctgt i prostą y=-1 we wspólnym układzie współrzędnych.

Z rysunku odczytujemy rozwiązania równania ctgt=-1.

$t = - \frac{π}{4} + k π, k \in Z$

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$2 x = - \frac{π}{4} + k π, k \in Z$

$x = - \frac{π}{8} + \frac{k π}{2}, k \in Z$

$f) ctg (3 x - π) = - 3$

$ctg (- (π - 3 x)) = - 3$

$- ctg (π - 3 x) = - 3$

Korzystając ze wzoru redukcyjnego, otrzymujemy:

$- (- ctg 3 x) = - 3$

$ctg 3 x = - 3$

Zakładamy, że cotangens jest określony, czyli:

$3 x \neq = k π, k \in Z$

$x \neq = \frac{k π}{3}, k \in Z$

Rozwiązujemy równanie.

$ctg 3 x = - 3$

Podstawiamy 3x=t.

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$ctg t = - 3$

Szkicujemy wykres funkcji y=ctgt i prostą y=-√3 we wspólnym układzie współrzędnych.

Z rysunku odczytujemy rozwiązania równania ctgt=-√3.

$t = - \frac{π}{6} + k π, k \in Z$

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$3 x = - \frac{π}{6} + k π, k \in Z$

$x = - \frac{π}{18} + \frac{k π}{3}, k \in Z$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Metoda graficzna rozwiązywania równań

Premium

8:44

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej

Premium

13:20

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Wyznaczanie równania prostej

Premium

13:59

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.