$\text{a)}f\left(x\right)=4\sin \left|x\right|$  

Zbiorem wartości funkcji y=sinx jest przedział <-1, 1>. Stąd:

$-1\le \sin x\le 1$  

Wykres funkcji y=sin|x| otrzymamy w wyniku odbicia względem osi Y. Nie wpłynie to na zbiór wartości funkcji, więc:

$-1\le \sin \left|x\right|\le 1\mid \cdot 4$  

$-4\le 4\sin \left|x\right|\le 4$  

$-4\le f\left(x\right)\le 4$  

$f\left(x\right)\in ⟨-4,4⟩$  

Zatem:

$f\left(D\right)=⟨-4,4⟩$  

---

$\text{b)}f\left(x\right)=4\left|\sin \left(x-\pi \right)\right|$  

Zbiorem wartości funkcji y=sinx jest przedział <-1, 1>. Stąd:

$-1\le \sin x\le 1$  

Wartość bezwzględna dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemna, więc:

$0\le \left|\sin x\right|\le 1$  

Przesunięcie o wektor [π, 0] nie wpływa na zbiór wartości, więc:

$0\le \left|\sin \left(x-\pi \right)\right|\le 1\mid \cdot 4$  

$0\le 4\left|\sin \left(x-\pi \right)\right|\le 4$  

$0\le f\left(x\right)\le 4$  

$f\left(x\right)\in ⟨0,4⟩$  

Zatem:

$f\left(D\right)=⟨0,4⟩$  

---

$\text{c)}f\left(x\right)=5\left|\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right|-3$  

Zbiorem wartości funkcji y=cosx jest przedział <-1, 1>. Stąd:

$-1\le \cos x\le 1$  

$-1\le \cos \left(\frac{x}{2}\right)\le 1$  

Wartość bezwzględna dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemna, więc:

$0\le \left|\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right|\le 1\mid \cdot 5$  

$0\le 5\left|\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right|\le 5\mid -3$  

$-3\le 5\left|\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right|-3\le 2$  

$-3\le f\left(x\right)\le 2$  

$f\left(x\right)\in <>$  

Zatem:

$f\left(D\right)=<>$  

---

$\text{d)}f\left(x\right)=7-\cos \left|3x\right|$  

Zbiorem wartości funkcji y=cosx jest przedział <-1, 1>. Stąd:

$-1\le \cos x\le 1$  

Wykres funkcji y=cos|x| otrzymamy w wyniku odbicia względem osi Y. Nie wpłynie to na zbiór wartości funkcji, więc:

$-1\le \cos \left|x\right|\le 1$  

$-1\le \cos \left|3x\right|\le 1\mid \cdot \left(-1\right)$  

$1\ge -\cos \left|3x\right|\ge -1$  

$-1\le -\cos \left|3x\right|\le 1\mid +7$  

$6\le 7-\cos \left|3x\right|\le 8$  

$6\le f\left(x\right)\le 8$  

$f\left(x\right)\in ⟨6,8⟩$  

Zatem:

$f\left(D\right)=⟨6,8⟩$  

---

$\text{e)}f\left(x\right)={\text{tg}}^{2}x+4$  

Zbiorem wartości funkcji y=tgx jest zbiór liczb rzeczywistych R. Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc:

${\text{tg}}^{2}x\ge 0\mid +4$  

${\text{tg}}^{2}x+4\ge 4$  

$f\left(x\right)\ge 4$  

$f\left(x\right)\in ⟨4,+\infty )$  

Zatem:

$f\left(D\right)=⟨4,+\infty )$  

---

$\text{f)}f\left(x\right)=2\sqrt{{\sin }^{2}x}-5=2\left|\sin x\right|-5$  

Zbiorem wartości funkcji y=sinx jest przedział <-1, 1>. Stąd:

$-1\le \sin x\le 1$  

Wartość bezwzględna dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemna, więc:

$0\le \left|\sin x\right|\le 1\mid \cdot 2$  

$0\le 2\left|\sin x\right|\le 2\mid -5$  

$-5\le 2\left|\sin x\right|-5\le -3$  

$-5\le f\left(x\right)\le -3$  

$f\left(x\right)\in <>$  

Zatem:

$f\left(D\right)=<>$