Określ dziedzinę funkcji...- Zadanie 15: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$f (x) = lo g_{∣ s i n (x - \frac{π}{3}) ∣} (cos x)$

Zakładamy, że:

$1) sin (x - \frac{π}{3}) > 0$

$2) sin (x - \frac{π}{3}) \neq = 1$

$3) cos x > 0$

Rysunek pomocniczy - szkicujemy wykresy funkcji y=sint i y=cost we wspólnym układzie współrzędnych.

Ad. 1).

$sin (x - \frac{π}{3}) > 0$

Wartość bezwzględna dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemna, więc powyższa nierówność jest spełniona, gdy:

$sin (x - \frac{π}{3}) \neq = 0$

Posiłkując się rysunkiem podajemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x - \frac{π}{3} \neq = k π, k \in Z$

$x \neq = \frac{π}{3} + k π, k \in Z$

Ad. 2).

$sin (x - \frac{π}{3}) \neq = 1$

$sin (x - \frac{π}{3}) \neq = - 1 i sin (x - \frac{π}{3}) \neq = 1$

Posiłkując się rysunkiem podajemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x - \frac{π}{3} \neq = - \frac{π}{2} + 2 k π i x - \frac{π}{3} \neq = \frac{π}{2} + 2 k π, k \in Z$

$x - \frac{π}{3} \neq = - \frac{π}{2} + k π, k \in Z$

$x - \frac{2}{6} π \neq = - \frac{3}{6} π + k π, k \in Z$

$x \neq = - \frac{π}{6} + k π, k \in Z$

Ad. 3).

$cos x > 0$

Posiłkując się rysunkiem podajemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (- \frac{π}{2} + 2 k π, \frac{π}{2} + 2 k π), k \in Z$

Łącząc warunki 1), 2) i 3), otrzymujemy:

$x \neq = \frac{π}{3} + k π i x \neq = - \frac{π}{6} + k π i x \in (- \frac{π}{2} + 2 k π, \frac{π}{2} + 2 k π), k \in Z$

Stąd:

$x \in (- \frac{π}{2} + 2 k π, - \frac{π}{6} + 2 k π) \cup (- \frac{π}{6} + 2 k π, \frac{π}{3} + 2 k π) \cup (\frac{π}{3} + 2 k π, \frac{π}{2} + 2 k π), k \in Z$

Zatem:

$D_{f} = (- \frac{π}{2} + 2 k π, - \frac{π}{6} + 2 k π) \cup (- \frac{π}{6} + 2 k π, \frac{π}{3} + 2 k π) \cup (\frac{π}{3} + 2 k π, \frac{π}{2} + 2 k π), k \in Z$