$\text{a)}\sin \left(\frac{x}{2}\right)<0$  

Podstawiamy ^x/₂=t.

Wówczas nierówność przyjmuje postać:

$\sin t<0$  

Szkicujemy wykres funkcji y=sint i prostą y=0 we wspólnym układzie współrzędnych.

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$t\in \left(\pi +2k\pi ,2\pi +2k\pi \right),k\in \mathbf{Z}$  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$\frac{x}{2}\in \left(\pi +2k\pi ,2\pi +2k\pi \right),k\in \mathbf{Z}$  

$x\in \left(2\pi +4k\pi ,4\pi +4k\pi \right),k\in \mathbf{Z}$  

---

$\text{b)}2\cos x<-\sqrt{3}\mid :2$  

$\cos x<-\frac{\sqrt{3}}{2}$  

Szkicujemy wykres funkcji y=cosx i prostą y=-^√3/₂ we wspólnym układzie współrzędnych.

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in \left(\frac{5}{6}\pi +2k\pi ,\frac{7}{6}\pi +2k\pi \right),k\in \mathbf{Z}$  

---

$\text{c)}\text{tg}4x\le -\sqrt{3}$  

Zakładamy, że tangens jest określony, czyli:

$4x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$x\ne \frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},k\in \mathbf{Z}$  

Zatem dziedziną nierówności jest zbiór:

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}:k\in \mathbf{Z}\right\}$  

Rozwiązujemy nierówność.

$\text{tg}4x\le -\sqrt{3}$  

Podstawiamy 4x=t.

$\text{tg}t\le -\sqrt{3}$  

Szkicujemy wykres funkcji y=tgt i prostą y=-√3 we wspólnym układzie współrzędnych.

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$t\in (-\frac{\pi }{2}+k\pi ,-\frac{\pi }{3}+k\pi ⟩,k\in \mathbf{Z}$  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$4x\in (-\frac{\pi }{2}+k\pi ,-\frac{\pi }{3}+k\pi ⟩,k\in \mathbf{Z}$  

$x\in (-\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{4}⟩,k\in \mathbf{Z}$  

---

$\text{d)}\text{tg}x>\sqrt{3}$  

Zakładamy, że tangens jest określony, czyli:

$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

Zatem dziedziną nierówności jest zbiór:

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi :k\in \mathbf{Z}\right\}$  

Rozwiązujemy nierówność.

$\text{tg}x>\sqrt{3}$  

Szkicujemy wykres funkcji y=tgx i prostą y=√3 we wspólnym układzie współrzędnych.

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in \left(\frac{\pi }{3}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right),k\in \mathbf{Z}$