$\text{a)}\cos 2x=3{\cos }^{2}x$  

$2{\cos }^{2}x-1=3{\cos }^{2}x$  

$-1={\cos }^{2}x$  

${\cos }^{2}x=-1$  

Równanie jest sprzeczne - nie ma rozwiązań, ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną.

---

$\text{b)}\sin 2x=\sqrt{2}\sin x$  

$2\sin x\cos x-\sqrt{2}\sin x=0$  

$\sin x\left(2\cos x-\sqrt{2}\right)=0$  

$\sin x=0\text{lub}2\cos x-\sqrt{2}=0$  

$\sin x=0\text{lub}2\cos x=\sqrt{2}\mid :2$  

$\sin x=0\text{lub}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

Rysunek pomocniczy - szkicujemy wykresy funkcji y=sinx oraz y=cosx we wspólnym układzie współrzędnych.

Z rysunku odczytujemy rozwiązania równania:

$x=k\pi \text{lub}x=-\frac{\pi }{4}+2k\pi \text{lub}x=\frac{\pi }{4}+2k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

---

$\text{c)}\text{tg}2x=\sin 2x$  

Zakładamy, że tangens jest określony, czyli:

$2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbf{Z}$  

Rozwiązujemy równanie.

$\text{tg}2x=\sin 2x$  

$\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\sin 2x\mid \cdot \cos 2x$  

$\sin 2x=\sin 2x\cos 2x$  

$\sin 2x-\sin 2x\cos 2x=0$  

$\sin 2x\left(1-\cos 2x\right)=0$  

$\sin 2x=0\text{lub}1-\cos 2x=0$  

$\sin 2x=0\text{lub}\cos 2x=1$  

Podstawiamy 2x=t.

$\sin t=0\text{lub}\cos t=1$  

Rysunek pomocniczy - szkicujemy wykresy funkcji y=sint oraz y=cost we wspólnym układzie współrzędnych.

Z rysunku odczytujemy rozwiązania równań.

$t=k\pi \text{lub}t=2k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$2x=k\pi \text{lub}2x=2k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$x=\frac{k\pi }{2}\text{lub}x=k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

Zatem:

$x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbf{Z}$  

---

$\text{d)}\cos x\cdot \text{tg}x-\sqrt{3}=\text{tg}x-\sqrt{3}\cos x$  

Zakładamy, że tangens jest określony, czyli:

$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

Rozwiązujemy równanie.

$\cos x\cdot \text{tg}x-\sqrt{3}=\text{tg}x-\sqrt{3}\cos x$  

$\cos x\cdot \text{tg}x-\text{tg}x=\sqrt{3}-\sqrt{3}\cos x$  

$\text{tg}x\left(\cos x-1\right)=-\sqrt{3}\left(\cos x-1\right)$  

$\text{tg}x\left(\cos x-1\right)+\sqrt{3}\left(\cos x-1\right)=0$  

$\left(\cos x-1\right)\left(\text{tg}x+\sqrt{3}\right)=0$  

$\cos x-1=0\text{lub}\text{tg}x+\sqrt{3}=0$  

$\cos x=1\text{lub}\text{tg}x=-\sqrt{3}$  

Rysunek pomocniczy - szkicujemy wykresy funkcji y=tgx oraz y=cosx we wspólnym układzie współrzędnych.

Z rysunku odczytujemy rozwiązania równania:

$x=2k\pi \text{lub}x=-\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$