$\text{a)}\sqrt{5}\text{tg}\left(10x-\frac{\pi }{5}\right)+\sqrt{10}=\sqrt{5}\left(1+\sqrt{2}\right)$  

Zakładamy, że tangens jest określony, czyli:

$10x-\frac{\pi }{5}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$10x-\frac{2}{10}\pi \ne \frac{5}{10}\pi +k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$10x\ne \frac{7}{10}\pi +k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$x\ne \frac{7}{100}\pi +\frac{k\pi }{10},k\in \mathbf{Z}$  

Rozwiązujemy równanie.

$\sqrt{5}\text{tg}\left(10x-\frac{\pi }{5}\right)+\sqrt{10}=\sqrt{5}\left(1+\sqrt{2}\right)\mid :\sqrt{5}$  

$\text{tg}\left(10x-\frac{\pi }{5}\right)+\sqrt{2}=1+\sqrt{2}$  

$\text{tg}\left(10x-\frac{\pi }{5}\right)=1$  

Podstawiamy 10x-^π/₅=t.

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$\text{tg}t=1$  

Szkicujemy wykres funkcji y=tgt oraz prostą y=1 we wspólnym układzie współrzędnych.

Z wykresu funkcji tangens odczytujemy rozwiązania równania tgt=1.

$t=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$10x-\frac{\pi }{5}=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$10x-\frac{4}{20}\pi =\frac{5}{20}\pi +k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$10x=\frac{9}{20}\pi +k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$x=\frac{9\pi }{200}+\frac{k\pi }{10},k\in \mathbf{Z}$  

---

$\text{b)}\sqrt{12}+\sqrt{2}\text{ctg}\left(8x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\sqrt{6}-1\right)$  

Zakładamy, że cotangens jest określony, czyli:

$8x+\frac{\pi }{4}\ne k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$8x\ne -\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$x\ne -\frac{\pi }{32}+\frac{k\pi }{8},k\in \mathbf{Z}$  

Rozwiązujemy równanie.

$\sqrt{12}+\sqrt{2}\text{ctg}\left(8x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\sqrt{6}-1\right)\mid :\sqrt{2}$  

$\sqrt{6}+\text{ctg}\left(8x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{6}-1$  

$\text{ctg}\left(8x+\frac{\pi }{4}\right)=-1$  

Podstawiamy 8x+^π/₄=t.

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$\text{ctg}t=-1$  

Szkicujemy wykres funkcji y=ctgt oraz prostą y=-1 we wspólnym układzie współrzędnych.

Z wykresu funkcji cotangens odczytujemy rozwiązania równania ctgt=-1.

$t=\frac{3}{4}\pi +k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$8x+\frac{\pi }{4}=\frac{3}{4}\pi +k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$8x=\frac{2}{4}\pi +k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$8x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{8},k\in \mathbf{Z}$  

---

$\text{c)}1+3\sqrt{3}\text{tg}\left(\frac{2}{3}x-\frac{\pi }{6}\right)=4$  

Zakładamy, że tangens jest określony, czyli:

$\frac{2}{3}x-\frac{\pi }{6}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$\frac{2}{3}x-\frac{2}{12}\pi \ne \frac{6}{12}\pi +k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$\frac{2}{3}x\pi \ne \frac{8}{12}\pi +k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$\frac{2}{3}x\pi \ne \frac{2}{3}\pi +k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$x\pi \ne \pi +\frac{3k\pi }{2},k\in \mathbf{Z}$  

Rozwiązujemy równanie.

$1+3\sqrt{3}\text{tg}\left(\frac{2}{3}x-\frac{\pi }{6}\right)=4$  

$3\sqrt{3}\text{tg}\left(\frac{2}{3}x-\frac{\pi }{6}\right)=3\mid :3\sqrt{3}$  

$\text{tg}\left(\frac{2}{3}x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$  

$\text{tg}\left(\frac{2}{3}x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$  

Podstawiamy ²/₃x-^π/₆=t.

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$\text{tg}t=\frac{\sqrt{3}}{3}$  

Szkicujemy wykres funkcji y=tgt oraz prostą y=^√3/₃ we wspólnym układzie współrzędnych.

Z wykresu funkcji tangens odczytujemy rozwiązania równania tgt=^√3/₃.

$t=\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$\frac{2}{3}x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$\frac{2}{3}x=\frac{2\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$\frac{2}{3}x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$x=\frac{\pi }{2}+\frac{3k\pi }{2},k\in \mathbf{Z}$  

---

$\text{d)}3-\sqrt{3}\text{ctg}\left(\frac{5}{6}x-\frac{2}{3}\pi \right)=6$  

Zakładamy, że cotangens jest określony, czyli:

$\frac{5}{6}x-\frac{2}{3}\pi \ne k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$\frac{5}{6}x\ne \frac{2}{3}\pi +k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$x\ne \frac{4\pi }{5}+\frac{6k\pi }{5},k\in \mathbf{Z}$  

Rozwiązujemy równanie.

$3-\sqrt{3}\text{ctg}\left(\frac{5}{6}x-\frac{2}{3}\pi \right)=6$  

$-\sqrt{3}\text{ctg}\left(\frac{5}{6}x-\frac{2}{3}\pi \right)=3\mid :\left(-\sqrt{3}\right)$  

$\text{ctg}\left(\frac{5}{6}x-\frac{2}{3}\pi \right)=-\sqrt{3}$  

Podstawiamy ⁵/₆x-²/₃π=t.

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$\text{ctg}t=-\sqrt{3}$  

Szkicujemy wykres funkcji y=ctgt oraz prostą y=-√3 we wspólnym układzie współrzędnych.

Z wykresu funkcji cotangens odczytujemy rozwiązania równania ctgt=-√3.

$t=\frac{5}{6}\pi +k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$\frac{5}{6}x-\frac{2}{3}\pi =\frac{5}{6}\pi +k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$\frac{5}{6}x-\frac{4}{6}\pi =\frac{5}{6}\pi +k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$\frac{5}{6}x=\frac{9}{6}\pi +k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$x=\frac{9}{5}\pi +\frac{6k\pi }{5},k\in \mathbf{Z}$  

---

$\text{e)}2+\text{tg}\left(\frac{x}{\pi }-3\right)-\sqrt{2}=3-\sqrt{2}$  

Zakładamy, że tangens jest określony, czyli:

$\frac{x}{\pi }-3\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$\frac{x}{\pi }\ne \frac{\pi }{2}+3+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$x\ne \frac{{\pi }^2}{2}+3\pi +k{\pi }^2,k\in \mathbf{Z}$  

Rozwiązujemy równanie.

$2+\text{tg}\left(\frac{x}{\pi }-3\right)-\sqrt{2}=3-\sqrt{2}$  

$\text{tg}\left(\frac{x}{\pi }-3\right)=1$  

Podstawiamy ^x/_π-3=t.

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$\text{tg}t=1$  

Szkicujemy wykres funkcji y=tgt oraz prostą y=1 we wspólnym układzie współrzędnych.

Z wykresu funkcji tangens odczytujemy rozwiązania równania tgt=1.

$t=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$\frac{x}{\pi }-3=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$\frac{x}{\pi }=3+\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$x=3\pi +\frac{{\pi }^2}{4}+k{\pi }^2,k\in \mathbf{Z}$  

---

$\text{f)}2\pi \text{ctg}\left(\frac{x-5}{2\pi }\right)+\pi =-\pi$  

Zakładamy, że cotangens jest określony, czyli:

$\frac{x-5}{2\pi }\ne k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$x-5\ne 2k{\pi }^2,k\in \mathbf{Z}$  

$x\ne 5+2k{\pi }^2,k\in \mathbf{Z}$  

Rozwiązujemy równanie.

$2\pi \text{ctg}\left(\frac{x-5}{2\pi }\right)+\pi =-\pi$  

$2\pi \text{ctg}\left(\frac{x-5}{2\pi }\right)=-2\pi \mid :2\pi$  

$\text{ctg}\left(\frac{x-5}{2\pi }\right)=-1$  

Podstawiamy  $\frac{x-5}{2\pi }=t.$  

Wówczas równanie przyjmuje postać:

$\text{ctg}t=-1$  

Szkicujemy wykres funkcji y=ctgt oraz prostą y=-1 we wspólnym układzie współrzędnych.

Z wykresu funkcji cotangens odczytujemy rozwiązania równania ctgt=-1.

$t=\frac{3}{4}\pi +k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$\frac{x-5}{2\pi }=\frac{3}{4}\pi +k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$x=5+\frac{3}{2}{\pi }^2+2k{\pi }^2,k\in \mathbf{Z}$