Dany jest 15-kąt foremny...- Zadanie 25: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$β$	$- α$	$90^{\circ} - α$	$90^{\circ} + α$	$180^{\circ} - α$	$180^{\circ} + α$	$270^{\circ} - α$	$270^{\circ} + α$	$360^{\circ} - α$
$sin β$	$- sin α$	$cos α$	$cos α$	$sin α$	$- sin α$	$- cos α$	$- cos α$	$- sin α$
$cos β$	$cos α$	$sin α$	$- sin α$	$- cos α$	$- cos α$	$- sin α$	$sin α$	$cos α$
$tg β$	$- tg α$	$ctg α$	$- ctg α$	$- tg α$	$tg α$	$ctg α$	$- ctg α$	$- tg α$
$ctg β$	$- ctg α$	$tg α$	$- tg α$	$- ctg α$	$ctg α$	$tg α$	$- tg α$	$- ctg α$

a) Rysunek pomocniczy:

Odcinki łączące wierzchołki wielokąta ze środkiem okręgu opisanego na wielokącie dzielą kąt pełny na 15 kątów o równych miarach. Stąd:

$α = 360^{\circ} : 15 = 24^{\circ}$

Kąty 360⁰-2α oraz β to kąt środkowy i kąt wpisany oparte na tym samym łuku. Zatem:

$β = \frac{1}{2} \cdot (360^{\circ} - 2 α) = 180^{\circ} - α$

Mamy więc:

$sin (∢ A_{1} A_{2} A_{3}) = sin (180^{\circ} - α) = sin α = sin 24^{\circ}$

b) Rysunek pomocniczy:

Odcinki łączące wierzchołki wielokąta ze środkiem okręgu opisanego na wielokącie dzielą kąt pełny na 15 kątów o równych miarach. Stąd:

$α = 360^{\circ} : 15 = 24^{\circ}$

Kąty 360⁰-4α oraz β to kąt środkowy i kąt wpisany oparte na tym samym łuku. Zatem:

$β = \frac{1}{2} \cdot (360^{\circ} - 4 α) = 180^{\circ} - 2 α$

Mamy więc:

$sin (∢ A_{5} A_{7} A_{9}) = sin (180^{\circ} - 2 α) = sin 2 α = sin (2 \cdot 24^{\circ}) = sin 48^{\circ} = sin (90^{\circ} - 42^{\circ}) = cos 42^{\circ}$

c) Rysunek pomocniczy:

Odcinki łączące wierzchołki wielokąta ze środkiem okręgu opisanego na wielokącie dzielą kąt pełny na 15 kątów o równych miarach. Stąd:

$α = 360^{\circ} : 15 = 24^{\circ}$

Kąty 360⁰-5α oraz β to kąt środkowy i kąt wpisany oparte na tym samym łuku. Zatem:

$β = \frac{1}{2} \cdot (360^{\circ} - 5 α) = 180^{\circ} - \frac{5}{2} α$

Mamy więc:

$tg (∢ A_{1} A_{4} A_{6}) = tg (180^{\circ} - \frac{5}{2} α) = - tg (\frac{5}{2} α) = - tg (\frac{5}{2} \cdot 24^{\circ}) = - tg 60^{\circ} = - tg (90^{\circ} - 60^{\circ}) = - ctg 30^{\circ}$

d) Rysunek pomocniczy:

Odcinki łączące wierzchołki wielokąta ze środkiem okręgu opisanego na wielokącie dzielą kąt pełny na 15 kątów o równych miarach. Stąd:

$α = 360^{\circ} : 15 = 24^{\circ}$

Kąty 360⁰-5α oraz β to kąt środkowy i kąt wpisany oparte na tym samym łuku. Zatem:

$β = \frac{1}{2} \cdot (360^{\circ} - 7 α) = 180^{\circ} - \frac{7}{2} α$

Mamy więc:

$ctg (∢ A_{2} A_{5} A_{9}) = ctg (180^{\circ} - \frac{7}{2} α) = - ctg (\frac{7}{2} α) = - ctg (\frac{7}{2} \cdot 24^{\circ}) = - ctg 84^{\circ} = - ctg (90^{\circ} - 84^{\circ}) = - tg 6^{\circ}$

e) Rysunek pomocniczy:

Odcinki łączące wierzchołki wielokąta ze środkiem okręgu opisanego na wielokącie dzielą kąt pełny na 15 kątów o równych miarach. Stąd:

$α = 360^{\circ} : 15 = 24^{\circ}$

Kąty 360⁰-4α oraz β to kąt środkowy i kąt wpisany oparte na tym samym łuku. Zatem:

$β = \frac{1}{2} \cdot (360^{\circ} - 4 α) = 180^{\circ} - 2 α$

Kąty 360⁰-5α oraz γ to kąt środkowy i kąt wpisany oparte na tym samym łuku. Zatem:

$γ = \frac{1}{2} \cdot (360^{\circ} - 5 α) = 180^{\circ} - \frac{5}{2} α$

Mamy więc:

$cos (∢ A_{2} A_{3} A_{6} + ∢ A_{7} A_{9} A_{12}) = cos (180^{\circ} - 2 α + 180^{\circ} - \frac{5}{2} α) = cos (360^{\circ} - \frac{9}{2} α) = cos (\frac{9}{2} α) = cos (\frac{9}{2} \cdot 24^{\circ}) = cos 108^{\circ} = cos (90^{\circ} + 18^{\circ}) = - sin 18^{\circ}$

f) Rysunek pomocniczy:

Odcinki łączące wierzchołki wielokąta ze środkiem okręgu opisanego na wielokącie dzielą kąt pełny na 15 kątów o równych miarach. Stąd:

$α = 360^{\circ} : 15 = 24^{\circ}$

Kąty 360⁰-6α oraz β to kąt środkowy i kąt wpisany oparte na tym samym łuku. Zatem:

$β = \frac{1}{2} \cdot (360^{\circ} - 6 α) = 180^{\circ} - 3 α$

Kąty 5α oraz γ to kąt środkowy i kąt wpisany oparte na tym samym łuku. Zatem:

$γ = \frac{1}{2} \cdot 5 α = \frac{5}{2} α$

Mamy więc:

$tg (∢ A_{4} A_{8} A_{10} + ∢ A_{6} A_{8} A_{1}) = tg (180^{\circ} - 3 α + \frac{5}{2} α) = tg (180^{\circ} - \frac{1}{2} α) = - tg (\frac{1}{2} α) = - tg (\frac{1}{2} \cdot 24^{\circ}) = - tg 12^{\circ}$