Wykaż, że równość...- Zadanie 23: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Dla dowolnych α, β ∈ R:

$sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β$

$sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β$

$cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β$

$cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β$

Ponadto, dla tych kątów α, β, dla których dane wyrażenie jest określone, mamy:

$tg (α + β) = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α \cdot tg β}$

$tg (α - β) = \frac{tg α - tg β}{1 + tg α \cdot tg β}$

Dla wszystkich α, β, γ, dla których wyrażenia po obu stronach równania są określone, mamy:

$tg (α + β + γ) = tg ((α + β) + γ) =$

$= \frac{tg ( α + β ) + tg γ}{1 - tg ( α + β ) \cdot tg γ} =$

$= \frac{\frac{tg α + tg β}{1 - tg α \cdot tg β} + tg γ}{1 - \frac{tg α + tg β}{1 - tg α \cdot tg β} \cdot tg γ} =$

$= \frac{\frac{tg α + tg β + tg γ \cdot ( 1 - tg α \cdot tg β )}{1 - tg α \cdot tg β}}{\frac{1 - tg α \cdot tg β - ( tg α + tg β ) \cdot tg γ}{1 - tg α \cdot tg β}} =$

$= \frac{tg α + tg β + tg γ \cdot ( 1 - tg α \cdot tg β )}{1 - tg α \cdot tg β} \cdot \frac{1 - tg α \cdot tg β}{1 - tg α \cdot tg β - ( tg α + tg β ) \cdot tg γ} =$