Podstawowe tożsamości trygonometryczne: $\text{1)}{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\text{dla dowolnego}x\in \mathbf{R}$   $\text{2)}\text{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}\text{dla}x\in \mathbf{R}\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi :k\in \mathbf{Z}\right\}$   $\text{3)}\text{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}\text{dla}x\in \mathbf{R}\backslash \left\{k\pi :k\in \mathbf{Z}\right\}$   $\text{4)}\text{ctg}x=\frac{1}{\text{tg}x}\text{i}\text{tg}x=\frac{1}{\text{ctg}x}\text{dla}x\in \mathbf{R}\backslash \left\{\frac{k\pi }{2}:k\in \mathbf{Z}\right\}$

---

$\text{a)}\cos x=\frac{\sqrt{3}}{3},x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$  

x ∈ (0, ^π/₂), więc końcowe ramię kąta x znajduje się w I ćwiartce układu współrzędnych. Stąd:

$\sin x>0,\text{tg}x>0,\text{ctg}x>0$  

Korzystając z jedynki trygonometrycznej obliczmy sinx:

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$  

${\sin }^{2}x+{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2=1$  

${\sin }^{2}x+\frac{3}{9}=\frac{9}{9}$  

${\sin }^{2}x=\frac{6}{9}\text{i}\sin x>0$  

$\sin x=\frac{\sqrt{6}}{3}$  

Obliczamy tgx oraz ctgx:

$\text{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}$  

$\text{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

---

$\text{b)}\sin x=\frac{\sqrt{5}}{5},x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$  

x ∈ (^π/₂, π), więc końcowe ramię kąta x znajduje się w II ćwiartce układu współrzędnych. Stąd:

$\cos x<0,\text{tg}x<0,\text{ctg}x<0$  

Korzystając z jedynki trygonometrycznej obliczmy sinx:

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$  

${\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)}^2+{\cos }^{2}x=1$  

$\frac{5}{25}+{\cos }^{2}x=\frac{25}{25}$  

${\cos }^{2}x=\frac{20}{25}\text{i}\cos x<0$  

$\cos x=-\frac{\sqrt{20}}{5}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$  

Obliczamy tgx oraz ctgx:

$\text{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{-2\sqrt{5}}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\cdot \frac{5}{-2\sqrt{5}}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$  

$\text{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\frac{-2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}=\frac{-2\sqrt{5}}{5}\cdot \frac{5}{\sqrt{5}}=-2$  

---

$\text{c)}\cos x=-0,3=-\frac{3}{10},x\in \left(\pi ,\frac{3}{2}\pi \right)$  

x ∈ (π, ³/₂π), więc końcowe ramię kąta x znajduje się w III ćwiartce układu współrzędnych. Stąd:

$\sin x<0,\text{tg}x>0,\text{ctg}x>0$  

Korzystając z jedynki trygonometrycznej obliczmy sinx:

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$  

${\sin }^{2}x+{\left(-\frac{3}{10}\right)}^2=1$  

${\sin }^{2}x+\frac{9}{100}=\frac{100}{100}$  

${\sin }^{2}x=\frac{91}{100}\text{i}\sin x<0$  

$\sin x=-\frac{\sqrt{91}}{10}$  

Obliczamy tgx oraz ctgx:

$\text{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{-\frac{\sqrt{91}}{10}}{-\frac{3}{10}}=-\frac{\sqrt{91}}{10}\cdot \left(-\frac{10}{3}\right)=\frac{\sqrt{91}}{3}$  

$\text{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{-\frac{3}{10}}{-\frac{\sqrt{91}}{10}}=-\frac{3}{10}\cdot \left(-\frac{10}{\sqrt{91}}\right)=\frac{3}{\sqrt{91}}=\frac{3}{\sqrt{91}}\cdot \frac{\sqrt{91}}{\sqrt{91}}=\frac{3\sqrt{91}}{91}$  

---

$\text{d)}\text{ctg}x=\sqrt{6},x\in \left(\pi ,\frac{3}{2}\pi \right)$  

x ∈ (π, ³/₂π), więc końcowe ramię kąta x znajduje się w III ćwiartce układu współrzędnych. Stąd:

$\sin x<0,\cos x<0,\text{tg}x>0$  

Obliczamy tgx, korzystając ze wzoru 4):

$\text{tg}x=\frac{1}{\text{ctg}x}=\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$  

Ze wzoru 3):

$\text{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$  

$\sqrt{6}=\frac{\cos x}{\sin x}\mid \cdot \sin x$  

$\sqrt{6}\sin x=\cos x$  

Z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$  

${\sin }^{2}x+{\left(\sqrt{6}\sin x\right)}^2=1$  

${\sin }^{2}x+6{\sin }^{2}x=1$  

$7{\sin }^{2}x=1\mid :7$  

${\sin }^{2}x=\frac{1}{7}$  

${\sin }^{2}x=\frac{7}{49}\text{i}\sin x<0$  

$\sin x=-\frac{\sqrt{7}}{7}$  

Wówczas:

$\cos x=\sqrt{6}\sin x=\sqrt{6}\cdot \left(-\frac{\sqrt{7}}{7}\right)=-\frac{\sqrt{42}}{7}$  

---

$\text{e)}\text{tg}x=-3,x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$  

x ∈ (^π/₂, π), więc końcowe ramię kąta x znajduje się w II ćwiartce układu współrzędnych. Stąd:

$\sin x>0,\cos x<0,\text{ctg}x<0$  

Obliczamy ctgx, korzystając ze wzoru 4):

$\text{ctg}x=\frac{1}{\text{tg}x}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$  

Ze wzoru 2):

$\text{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$  

$-3=\frac{\sin x}{\cos x}\mid \cdot \cos x$  

$-3\cos x=\sin x$  

Z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$  

${\left(-3\cos x\right)}^2+{\cos }^{2}x=1$  

$9{\cos }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$  

$10{\cos }^{2}x=1\mid :10$  

${\cos }^{2}x=\frac{1}{10}$  

${\cos }^{2}x=\frac{10}{100}\text{i}\cos x<0$  

$\cos =-\frac{\sqrt{10}}{10}$  

Wówczas:

$\sin x=-3\cos x=-3\cdot \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right)=\frac{3\sqrt{10}}{10}$  

---

$\text{f)}\text{ctg}x=-\frac{2}{5},x\in \left(\frac{3}{2}\pi ,2\pi \right)$  

x ∈ (³/₂π, 2π), więc końcowe ramię kąta x znajduje się w IV ćwiartce układu współrzędnych. Stąd:

$\sin x<0,\cos x>0,\text{tg}x<0$  

Obliczamy tgx, korzystając ze wzoru 4):

$\text{tg}x=\frac{1}{\text{ctg}x}=\frac{1}{-\frac{2}{5}}=-\frac{5}{2}=-2\frac{1}{2}$  

Ze wzoru 3):

$\text{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$  

$-\frac{2}{5}=\frac{\cos x}{\sin x}\mid \cdot \sin x$  

$-\frac{2}{5}\sin x=\cos x$  

Z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$  

${\sin }^{2}x+{\left(-\frac{2}{5}\sin \right)}^2=1$  

${\sin }^{2}x+\frac{4}{25}{\sin }^{2}x=1$  

$\frac{25}{25}{\sin }^{2}x+\frac{4}{25}{\sin }^{2}x=1$  

$\frac{29}{25}{\sin }^{2}x=1\mid \cdot \frac{25}{29}$  

${\sin }^{2}x=\frac{25}{29}\text{i}\sin x<0$  

$\sin x=-\frac{5}{\sqrt{29}}=-\frac{5}{\sqrt{29}}\cdot \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}=-\frac{5\sqrt{29}}{29}$  

Wówczas:

$\cos x=-\frac{2}{5}\sin x=-\frac{2}{5}\cdot \left(-\frac{5\sqrt{29}}{29}\right)=\frac{2\sqrt{29}}{29}$