Rysunek pomocniczy - wykres funkcji y=sinx.

---

$\text{a)}f\left(\frac{\pi }{6}\right)=3-f\left(\frac{2}{3}\pi \right)$  

$a\sin \left(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{6}\right)=3-a\sin \left(\frac{2}{3}\pi +\frac{\pi }{6}\right)$  

$a\sin \left(\frac{2}{6}\pi \right)=3-a\sin \left(\frac{4}{6}\pi +\frac{\pi }{6}\right)$  

$a\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=3-a\sin \left(\frac{5}{6}\pi \right)$  

$a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3-a\cdot \frac{1}{2}$  

$\frac{\sqrt{3}}{2}a=3-\frac{1}{2}a$  

$\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{1}{2}a=3\mid \cdot 2$  

$\sqrt{3}a+a=6$  

$\left(\sqrt{3}+1\right)a=6\mid :\left(\sqrt{3}+1\right)$  

$a=\frac{6}{\sqrt{3}+1}=\frac{6}{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}=\frac{6\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}=\frac{6\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}=3\left(\sqrt{3}-1\right)$  

$a=3\left(\sqrt{3}-1\right)$  

---

$\text{b)}$  Punkt symetryczny do punktu P względem osi X ma współrzędne 

$P{}^{\prime }\left(\frac{\pi }{3},-5\right)$  

Podstawiając współrzędne punktu P' do wzoru funkcji f, otrzymujemy:

$f\left(\frac{\pi }{3}\right)=-5$  

$a\sin \left(\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}\right)=-5$  

$a\sin \left(\frac{2}{6}\pi +\frac{\pi }{6}\right)=-5$  

$a\sin \left(\frac{3}{6}\pi \right)=-5$  

$a\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=-5$  

$a\cdot 1=-5$  

$a=-5$  

---

$\text{c)}$  Zbiór wartości funkcji y=sin(x+^π/₆) to przedział <-1, 1>, jego długość jest równa:

$2\cdot 1=2$  

Zatem zbiór wartości funkcji f będzie miał długość 3, gdy będzie miał postać <-³/₂, ³/₂>, bo:

$2\cdot \frac{3}{2}=3$  

Będzie tak, gdy:

$a=-\frac{3}{2}\text{lub}a=\frac{3}{2}$  

---

$\text{d)}$  Zbiór wartości funkcji y=sin(x+^π/₆) to przedział <-1, 1>. Zatem najmniejsza wartość funkcji f będzie równa -6, gdy zbiór wartości funkcji będzie miał postać <-6, 6>.

Będzie tak, gdy:

$a=-6\text{lub}a=6$