Skorzystamy z następujących własności: $\text{Dla}x\in \mathbf{R}\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi :k\in \mathbf{Z}\right\}:\text{tg}\left(x+n\pi \right)=\text{tg}x,\text{gdzie}n\in \mathbf{Z}.$   $\text{Dla}x\in \mathbf{R}\backslash \left\{k\pi :k\in \mathbf{Z}\right\}:\text{ctg}\left(x+n\pi \right)=\text{ctg}x,\text{gdzie}n\in \mathbf{Z}.$   $\text{Dla}x\in \mathbf{R}\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi :k\in \mathbf{Z}\right\}:\text{tg}\left(-x\right)=-\text{tg}x.$   $\text{Dla}x\in \mathbf{R}\backslash \left\{k\pi :k\in \mathbf{Z}\right\}:\text{ctg}\left(-x\right)=-\text{ctg}x.$

---

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że wykres funkcji g(x)=ctgx otrzymamy, przekształcając wykres funkcji f(x)=tgx przez symetrię względem osi X, a następnie przesuwając wykres otrzymanej funkcji o wektor [^π/₂, 0].

Zatem:

$\text{ctg}x=-\text{tg}\left(x-\frac{\pi }{2}\right)\left(\ast \right)$  

Analogicznie, wykres funkcji f(x)=tgx otrzymamy, przekształcając wykres funkcji g(x)=ctgx przez symetrię względem osi X, a następnie przesuwając wykres otrzymanej funkcji o wektor [^π/₂, 0].

Stąd:

$\text{tg}x=-\text{ctg}\left(x-\frac{\pi }{2}\right)\left(\ast \ast \right)$  

---

$\text{a)}\text{tg}\left(\frac{3}{2}\pi -\alpha \right)=\text{tg}\left(\pi +\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\text{tg}\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\text{tg}\left(-\left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)\right)=-\text{tg}\left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)=\text{ctg}\alpha$  

W ostatnim przejściu skorzystaliśmy z równości oznaczonej jako (∗).

---

$\text{b)}\text{ctg}\left(\frac{3}{2}\pi -\alpha \right)=\text{ctg}\left(\pi +\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\text{ctg}\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\text{ctg}\left(-\left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)\right)=-\text{ctg}\left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)=\text{tg}\alpha$  

W ostatnim przejściu skorzystaliśmy z równości oznaczonej jako (∗∗).

---

$\text{c)}\text{tg}\left(\pi -x\right)=\text{tg}\left(-x\right)=-\text{tg}x$  

---

$\text{d)}\text{ctg}\left(\pi -\alpha \right)=\text{ctg}\left(-\alpha \right)=-\text{ctg}\alpha$