Jeśli funkcja $f:⟨a,b⟩\to \mathbb{R}$   jest ciągła i $f\left(a\right)<0,f\left(b\right)>0\text{lub}f\left(x\right)<0,f\left(b\right)>0$   to istnieje przynajmniej jeden argument c ∈ (a,b) taki, że $f\left(c\right)=0$

---

a) Mamy funkcje

$f\left(x\right)=\sqrt{3}x+2$  

Funkcja jest ciągła na R, zatem w szczególności na podanym przedziale. Wartości na końcach przedziału

$f\left(-2\right)=\sqrt{3}\cdot \left(-2\right)+2=2-2\sqrt{3}<0$  

$f\left(1\right)=\sqrt{3}+2>0$  

Na mocy twierdzenia o przyjmowaniu wartości pośrednich istnieje przynajmniej jeden argument

$c\in \left(-2,1\right)$

taki, że

$f\left(c\right)=0$   

Istnieje miejsce zerowe funkcji w podanym przedziale.

---

b) Mamy funkcje

$f\left(x\right)=x^2-7x+8$  

Funkcja jest ciągła na R, zatem w szczególności na podanym przedziale. Wartości na końcach przedziału

$f\left(5\right)=5^2-7\cdot 5+8=25-35+8=-2<0$  

$f\left(6\right)=6^2-7\cdot 6+8=36-42+8=2>0$  

Na mocy twierdzenia o przyjmowaniu wartości pośrednich istnieje przynajmniej jeden argument

$c\in \left(5,6\right)$

taki, że

$f\left(c\right)=0$   

Istnieje miejsce zerowe funkcji w podanym przedziale.

---

c) Mamy funkcje

$f\left(x\right)=\frac{x^4-x^3-8}{x+x^3}$  

Funkcja jest ciągła na <-2,-1>. Wartości na końcach przedziału

$f\left(-2\right)=\frac{{\left(-2\right)}^4-{\left(-2\right)}^3-8}{-2+{\left(-2\right)}^3}=\frac{16+8-8}{-2-8}=-1,6<0$  

$f\left(-1\right)=\frac{{\left(-1\right)}^4-{\left(-1\right)}^3-8}{-1+{\left(-1\right)}^3}=\frac{1+1-8}{-1-1}=3>0$  

Na mocy twierdzenia o przyjmowaniu wartości pośrednich istnieje przynajmniej jeden argument

$c\in \left(-2,-1\right)$

taki, że

$f\left(c\right)=0$   

Istnieje miejsce zerowe funkcji w podanym przedziale.

---

d) Mamy funkcje

$f\left(x\right)=\sqrt{100-x^2}-\sqrt{10+x^2}$  

Funkcja jest ciągła na <-7,-6>. Wartości na końcach przedziału

$f\left(-7\right)=\sqrt{100-{\left(-7\right)}^2}-\sqrt{10+{\left(-7\right)}^2}=\sqrt{100-49}-\sqrt{10+49}=\sqrt{51}-\sqrt{59}<0$  

$f\left(-6\right)=\sqrt{100-{\left(-6\right)}^2}-\sqrt{10+{\left(-6\right)}^2}=\sqrt{100-36}-\sqrt{10+36}=\sqrt{64}-\sqrt{46}>0$  

Na mocy twierdzenia o przyjmowaniu wartości pośrednich istnieje przynajmniej jeden argument

$c\in \left(-7,-6\right)$

taki, że

$f\left(c\right)=0$   

Istnieje miejsce zerowe funkcji w podanym przedziale.

---

e) Mamy funkcje

$f\left(x\right)=\frac{1}{x^2-x}+\frac{1}{x^3-x}$  

Funkcja jest ciągła <-2½, -1½>. Wartości na końcach przedziału

$f\left(-2\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{{\left(-2\frac{1}{2}\right)}^2+2\frac{1}{2}}+\frac{1}{{\left(-2\frac{1}{2}\right)}^3+2\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{25}{4}+2\frac{1}{2}}+\frac{1}{-\frac{125}{8}+2\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{35}{4}}+\frac{1}{-\frac{105}{8}}=\frac{4}{35}-\frac{8}{105}=\frac{4}{105}>0$  

$f\left(-1\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{{\left(-1\frac{1}{2}\right)}^2+1\frac{1}{2}}+\frac{1}{{\left(-1\frac{1}{2}\right)}^3+1\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{9}{4}+1\frac{1}{2}}+\frac{1}{-\frac{27}{8}+1\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{15}{4}}+\frac{1}{-\frac{15}{8}}=\frac{4}{15}-\frac{8}{15}=-\frac{4}{15}<0$  

Na mocy twierdzenia o przyjmowaniu wartości pośrednich istnieje przynajmniej jeden argument

$c\in \left(-2\frac{1}{2},-1\frac{1}{2}\right)$

taki, że

$f\left(c\right)=0$   

Istnieje miejsce zerowe funkcji w podanym przedziale.