Funkcja  $f:\left(a,b\right)\to \mathbb{R}$   jest ciągła w punkcie x0 ∈ (a,b) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)$   oraz $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$

Granica w punkcie istnieje, gdy

$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)$  

---

a) Liczymy jednostronne granice

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(3x-5\right)=6-5=1$  

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(3x-5\right)=6-5=1$  

Są sobie równe, zatem istnieje granica w punkcie. Wartość funkcji w punkcie

$f\left(x_0\right)=f\left(2\right)=6-5=1$  

Stąd

$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=f\left(2\right)$  

Funkcja jest ciągła w x₀ = 2.

---

b) Liczymy jednostronne granice

$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\sqrt{x^2-5}=\sqrt{9-5}=2$  

$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\sqrt{x^2-5}=\sqrt{9-5}=2$  

Są sobie równe, zatem istnieje granica w punkcie. Wartość funkcji w punkcie

$f\left(x_0\right)=f\left(3\right)=\sqrt{9-5}=2$  

Stąd

$\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=f\left(3\right)$  

Funkcja jest ciągła w x₀ = 3.

---

c) Liczymy jednostronne granice

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^2+1}{x-1}=\frac{1}{-1}=-1$  

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2+1}{x-1}=\frac{1}{-1}=-1$  

Są sobie równe, zatem istnieje granica w punkcie. Wartość funkcji w punkcie

$f\left(x_0\right)=f\left(0\right)=\frac{0^2+1}{0-1}=-1$  

Stąd

$\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)$  

Funkcja jest ciągła w x₀ = 0.