$\text{a) }{a}_{2+1}=\frac{a_2^2}{a_{2-1}}$  

Mamy

$a_3=\frac{a_2^2}{a_1}$  

$a_3=\frac{2^2}{1}$  

$a_3=4$  

 

$a_4=\frac{a_3^2}{a_2}$  

$a_4=\frac{4^2}{2}=\frac{{\left(2^2\right)}^2}{2}=\frac{2^4}{2}=2^3=8$  

 

$a_5=16$  

$a_6=32$  

Wzór ogólny to:

$a_n=2^{n-1}$  

Udowodnijmy wzór

$a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_{n-1}}$   

$2^{n+1-1}=\frac{{\left(2^{n-1}\right)}^2}{2^{n-1-1}}$  

$2^n\cdot 2^{n-2}=2^{n-1}\cdot 2^{n-1}$  

$2^n\cdot 2^n\cdot 2^{-2}=2^n\cdot 2^{-1}\cdot 2^n\cdot 2^{-1}$  

$2^n\cdot 2^n=2^n\cdot 2^n$  

$0=0$  

Równanie tożsamościowe, a więc wzór jest prawdziwy dla dowolnego n naturalnego.

---

$\text{b) }{a}_{2+1}=\frac{a_2^2-1}{a_{2-1}}$  

$a_3=\frac{a_2^2-1}{a_1}$  

$a_3=\frac{2^2-1}{1}=\frac{4-1}{1}=\frac{3}{1}=3$  

 

$a_4=\frac{a_3^2-1}{a_2}$  

$a_4=\frac{3^2-1}{2}=\frac{9-1}{2}=\frac{8}{2}=4$  

 

$a_5=\frac{a_4^2-1}{a_3}$  

$a_5=\frac{4^2-1}{3}=\frac{16-1}{3}=\frac{15}{3}=5$  

 

$a_6=\frac{a_5^2-1}{a_4}$  

$a_6=\frac{5^2-1}{4}=\frac{25-1}{4}=\frac{24}{4}=6$  

 

Wzór ogólny to:

$a_n=n$  

Udowodnijmy wzór

$a_{n+1}=\frac{a_n^2-1}{a_{n-1}}$  

$n+1=\frac{n^2-1}{n-1}$  

$n+1=\frac{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}{n-1}$  

$n+1=n+1$  

$0=0$  

Równanie tożsamościowe a więc wzór jest prawdziwy dla dowolnego n naturalnego.