Pamiętajmy: Ciąg może mieć tylko jedną granicę!

---

a) Zbadajmy ciąg dla nieparzystych n

$a_1=1$  

$a_3=1$  

$a_5=1$  

$...$  

Ciąg jest stały i granica dla n nieparzystych wynosi

$\underset{n\to \infty }{\overset{n\text{patrzyste}}{\lim }}{a}_n=1$  

Zbadajmy ciąg dla parzystych n

$a_2=\sqrt[2]{3}\approx 1,732$  

$a_4=\sqrt[4]{3}\approx 1,316$  

$a_6=\sqrt[6]{3}\approx 1,2$  

$...$  

Ciąg jest malejący i wyrazy zbliżają się do 1. Granica dla n parzystych wynosi

$\underset{n\to \infty }{\overset{n\text{patrzyste}}{\lim }}{a}_n=1$  

Stąd ciąg ma granicę

$\underset{n\to \infty }{\overset{n\text{niepatrzyste}}{\lim }}{a}_n=\underset{n\to \infty }{\overset{n\text{patrzyste}}{\lim }}{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=1$  

---

b) Zbadajmy ciąg dla nieparzystych n

$a_1={\left(\frac{1}{2}\right)}^1=\frac{1}{2}$  

$a_3={\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$  

$a_5={\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{1}{32}$  

$...$  

wyrazy ciągu maleją do zera i granica dla n nieparzystych wynosi

$\underset{n\to \infty }{\overset{n\text{patrzyste}}{\lim }}{a}_n=0$  

Zbadajmy ciąg dla parzystych n

$a_2={\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$  

$a_4={\left(\frac{1}{3}\right)}^4=\frac{1}{81}$  

$a_6={\left(\frac{1}{3}\right)}^6=\frac{1}{729}$  

$...$  

wyrazy ciągu maleją do zera i granica dla n parzystych wynosi

$\underset{n\to \infty }{\overset{n\text{patrzyste}}{\lim }}{a}_n=0$  

Stąd ciąg ma granicę

$\underset{n\to \infty }{\overset{n\text{niepatrzyste}}{\lim }}{a}_n=\underset{n\to \infty }{\overset{n\text{patrzyste}}{\lim }}{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$  

---

c) Zbadajmy ciąg dla nieparzystych n

$a_1=\sqrt[1]{0,2}=0,2$  

$a_3=\sqrt[3]{0,2}=0,5848$  

$a_5=\sqrt[5]{0,2}=0,7248$  

$...$  

Wyrazy ciągu rosną i zbliżają się do 1. Granica dla n nieparzystych wynosi

$\underset{n\to \infty }{\overset{n\text{patrzyste}}{\lim }}{a}_n=1$  

Zbadajmy ciąg dla parzystych n

$a_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,7071$  

$a_4=\frac{1}{\sqrt{4}}=0,5$  

$a_6=\frac{1}{\sqrt{6}}\approx 0,4082$  

$...$  

Ciąg jest malejący i wyrazy zbliżają się do 0. Granica dla n parzystych wynosi

$\underset{n\to \infty }{\overset{n\text{patrzyste}}{\lim }}{a}_n=0$  

Stąd ciąg nie ma granicy, bo

$\underset{n\to \infty }{\overset{n\text{niepatrzyste}}{\lim }}{a}_n=0\ne 1=\underset{n\to \infty }{\overset{n\text{patrzyste}}{\lim }}{a}_n$  

---

d) Zbadajmy ciąg dla nieparzystych n

$a_1=\frac{1}{1^5}=1$  

$a_3=\frac{1}{3^5}=\frac{1}{243}$  

$a_5=\frac{1}{5^5}=\frac{1}{3125}$  

$...$  

Ciąg jest malejący i wyrazy zbliżają się do 0. Granica dla n nieparzystych wynosi

$\underset{n\to \infty }{\overset{n\text{patrzyste}}{\lim }}{a}_n=0$  

Zbadajmy ciąg dla parzystych n

$a_2=\frac{1}{\sqrt[5]{2}}\approx 0,87$  

$a_4=\frac{1}{\sqrt[5]{4}}\approx 0,758$  

$a_6=\frac{1}{\sqrt[5]{5}}\approx 0,699$  

$...$  

Ciąg jest malejący i wyrazy zbliżają się do 0. Granica dla n parzystych wynosi

$\underset{n\to \infty }{\overset{n\text{patrzyste}}{\lim }}{a}_n=0$  

Stąd ciąg ma granicę

$\underset{n\to \infty }{\overset{n\text{niepatrzyste}}{\lim }}{a}_n=\underset{n\to \infty }{\overset{n\text{patrzyste}}{\lim }}{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$