Z własności ciągu arytmetycznego:

$2\left(x+2y\right)=2x+y+5y-x$  

Z własności ciągu geometrycznego:

${\left(xy+1\right)}^2={\left(y-1\right)}^2\cdot {\left(x+1\right)}^2$   

Rozwiążmy układ równań:

$\{\begin{array}{l}2x+4y=x+6y\\ {\left(xy+1\right)}^2={\left(\left(y-1\right)\left(x+1\right)\right)}^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2y\\ {\left(2y^2+1\right)}^2={\left(\left(y-1\right)\left(2y+1\right)\right)}^2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=2y\\ 4y^4+4y^2+1={\left(2y^2+y-2y-1\right)}^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2y\\ 4y^4+4y^2+1={\left(2y^2-y-1\right)}^2\end{array}$  

Osobno przekształćmy kwadrat trzech składników:

${\left(2y^2-y-1\right)}^2={\left(\left(2y^2-y\right)-1\right)}^2={\left(2y^2-y\right)}^2-2\cdot \left(2y^2-y\right)+1=4y^4-4y^3+y^2-4y^2+2y+1=$   

$4y^4-4y^3-3y^2+2y+1$  

Stąd

$\{\begin{array}{l}x=2y\\ 4y^4+4y^2+1=4y^4-4y^3-3y^2+2y+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2y\\ 4y^3+7y^2-2y=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2y\\ y\left(4y^2+7y-2\right)=0\end{array}$  

Przekształćmy równanie kwadratowe

$4y^2+7y-2=0$   

$\Delta =7^2-4\cdot 4\cdot \left(-2\right)=49+32=81$  

$y_1=\frac{-7-9}{8}=-2$  

$y_2=\frac{-7+9}{8}=\frac{1}{4}$  

A więc

$\{\begin{array}{l}x=2y\\ y\left(y+2\right)\left(y-\frac{1}{4}\right)=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{y}_1=0\\ x_1=0\end{array}\vee \{\begin{array}{l}{y}_2=-2\\ x_2=-4\end{array}\vee \{\begin{array}{l}{y}_3=\frac{1}{4}\\ x_3=\frac{1}{2}\end{array}$