a) Ciąg składający się z wyrazów o parzystych numerach:

$a_2=2\cdot 2+1=5,a_4=2\cdot 4+1=9,a_6=2\cdot 6+1=13,\dots$  

Zapiszmy parzyste liczby naturalne

$n=2k,k\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Podstawmy

$2\cdot 2k+1=4k+1$  

Otrzymamy

$b_n=4n+1,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

---

b) Ciąg składający się z wyrazów o nieparzystych numerach:

$a_1=2\cdot 1+1=3,a_3=2\cdot 3+1=7,a_5=2\cdot 5+1=11,\dots$  

Zapiszmy nieparzyste liczby naturalne

$n=2k-1,k\in {\mathbb{N}}_{+}$

Podstawmy

$2\cdot \left(2k-1\right)+1=4k-1$  

Otrzymamy

$c_n=4n-1,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

---

c) Ciąg składający się z wyrazów o numerach podzielnych przez 7:

$a_7=2\cdot 7+1=15,a_{14}=2\cdot 14+1=29,a_{21}=2\cdot 21+1=43,\dots$  

Zapiszmy liczby naturalne podzielne przez 7

$n=7k,k\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Podstawmy

$2\cdot 7k+1=14k+1$  

Otrzymamy

$d_n=14n+1,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

---

d) Ciąg składający się z wyrazów których numery to kwadraty kolejnych liczb naturalnych:

$a_1=2\cdot 1+1=3,a_4=2\cdot 4+1=9,a_9=2\cdot 9+1=19,\dots$  

Zapiszmy kwadraty kolejnych liczb naturalnych

$n=k^2,k\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Podstawmy

$2\cdot k^2+1=2k^2+1$  

Otrzymamy

$e_n=2n^2+1,n\in {\mathbb{N}}_{+}$