Punktem symetrycznym do punktu P(x, y) względem osi X układu współrzędnych jest punkt P(x, -y). Punktem symetrycznym do punktu P(x, y) względem osi Y układu współrzędnych jest punkt P(-x, y).

---

Odczytujemy współrzędne środka i długość promienia okręgu (x-5)²+(y+1)²=4:

$S\left(5,-1\right),r=2$  

---

a) Obrazem punktu S w symetrii względem osi X jest punkt

$S{}^{\prime }\left(5,1\right)$  

Zapisujemy równanie okręgu symetrycznego do danego względem osi X, ma on środek w punkcie S' i promień r:

${\left(x-5\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=4$  

---

b) Obrazem punktu S w symetrii względem osi Y jest punkt

$S{}^{\prime }\left(-5,-1\right)$  

Zapisujemy równanie okręgu symetrycznego do danego względem osi Y, ma on środek w punkcie S' i promień r:

${\left(x+5\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=4$  

---

c) Punkt S(5, -1) ma drugą współrzędną równą -1, więc leży na prostej y=-1.

Wynika stąd, że dany okrąg jest symetryczny względem prostej y=-1.

Zatem szukany okrąg ma równanie:

${\left(x-5\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=4$  

---

---

d) Rysunek pomocniczy:

---

Punkt S' jest obrazem punktu S w symetrii względem prostej y=-x, więc leży na prostej y=ax+b prostopadłej do prostej y=-x i przechodzącej przez punkt S.

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy -1, więc:

$a\cdot \left(-1\right)=-1\mid :\left(-1\right)$  

$a=1$  

Wówczas równanie prostej przyjmuje postać:

$y=x+b$  

Podstawiając współrzędne punktu S(5, -1), otrzymujemy:

$-1=5+b$  

$-6=b$  

$b=-6$  

Zatem prosta SS' ma równanie:

$y=x-6$  

---

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych y=-x i y=x-6:

$\{\begin{array}{l}y=-x\\ y=x-6\end{array}$  

Podstawiamy y=x-6 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x-6=-x\\ y=x-6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2x=6\mid :2\\ y=x-6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=3\\ y=x-6\end{array}$  

Podstawiamy x=3 do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x=3\\ y=3-6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=3\\ y=-3\end{array}$  

Zatem:

$P\left(3,-3\right)$  

---

Ze wzoru na współrzędne środka odcinka wyznaczamy współrzędne punktu S':

$\{\begin{array}{l}{x}_P=\frac{x_S+x_{S{}^{\prime }}}{2}\\ y_P=\frac{y_S+y_{S{}^{\prime }}}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3=\frac{5+x_{S{}^{\prime }}}{2}\mid \cdot 2\\ -3=\frac{-1+y_{S{}^{\prime }}}{2}\mid \cdot 2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}6=5+x_{S{}^{\prime }}\\ -6=-1+y_{S{}^{\prime }}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}1=x_{S{}^{\prime }}\\ -5=y_{S{}^{\prime }}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_{S{}^{\prime }}=1\\ y_{S{}^{\prime }}=-5\end{array}$  

Zatem:

$S{}^{\prime }\left(1,-5\right)$  

---

Zapisujemy równanie okręgu symetrycznego do danego względem osi Y, ma on środek w punkcie S' i promień r:

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+5\right)}^2=4$