W układzie współrzędnych dane są koła...- Zadanie 15: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Przekształcamy nierówność opisującą koło K₁ w taki sposób, by móc odczytać współrzędne środka i długość promienia koła.

$x^{2} + y^{2} - 4 x - 12 \leq 0$

$x^{2} - 4 x + 0 4 - 4 + y^{2} - 12 \leq 0$

$x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} \leq 16$

$(x - 2)^{2} + y^{2} \leq 16$

Odczytujemy współrzędne środka i długość promienia koła K₁:

$S_{1} (2, 0), r_{1} = 4$

Przekształcamy nierówność opisującą koło K₂ w taki sposób, by móc odczytać współrzędne środka i długość promienia koła.

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 12 \leq 0$

$x^{2} + 4 x + 0 4 - 4 + y^{2} - 12 \leq 0$

$x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} \leq 16$

$(x + 2)^{2} + y^{2} \leq 16$

Odczytujemy współrzędne środka i długość promienia koła K₂:

$S_{2} (- 2, 0), r_{2} = 4$

Szkicujemy koła K₁ i K₂ we wspólnym układzie współrzędnych.

Figura będąca sumą kół K₁ i K₂ jest symetryczna względem osi Y.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Do obliczenie pól figur K₁∩K₂ oraz K₁∪K₂ będzie nam potrzebne pole odcinka koła zaznaczonego kolorem żółtym. Obliczymy je jako różnicę pola wycinka koła o promieniu r₁ i kącie 2α i pola trójkąta równoramiennego AS₁B.

Z rysunku odczytujemy długość odcinka OS₁:

$∣ O S_{1} ∣ = 2$

Z zależności trygonometrycznych dla trójkąta OS₁A:

$cos α = \frac{∣ O S _{1} ∣}{r _{1}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Stąd:

$α = 60^{\circ}$

$2 α = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ}$

Obliczamy pole wycinka koła o promieniu r₁ i kącie 2α:

$P_{w} = \frac{2 α}{360 ^{\circ}} \cdot π r_{1}^{2} = \frac{120 ^{\circ}}{360 ^{\circ}} \cdot π \cdot 4^{2} = \frac{1}{3} \cdot 16 π = \frac{16}{3} π$

Obliczamy pole trójkąta AS₁B:

$P_{t} = \frac{1}{2} \cdot r_{1} \cdot r_{1} \cdot sin 2 α = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot sin 120^{\circ} = 8 \cdot sin (180^{\circ} - 60^{\circ}) = 8 \cdot sin 60^{\circ} = 8 \cdot \frac{3}{2} = 43$

Obliczamy pole odcinka koła zaznaczonego kolorem żółtym:

$P_{o} = P_{w} - P_{t} = \frac{16}{3} π - 43 = \frac{4}{3} (4 π - 33)$

Pole figury K₁∩K₂jest równe dwukrotności pola odcinka koła zaznaczonego kolorem żółtym:

$P_{K_{1} \cap K_{2}} = 2 P_{o} = 2 \cdot \frac{4}{3} (4 π - 33) = \frac{8}{3} (4 π - 33)$

Pole figury K₁∪K₂jest równe sumie pól kół K₁, K₂ pomniejszonej o pole figury K₁∩K₂:

$P_{K_{1} \cup K_{2}} = π r_{1}^{2} + π r_{2}^{2} - P_{K_{1} \cap K_{2}} = π \cdot 4^{2} + π \cdot 4^{2} - \frac{8}{3} (4 π - 33) = 16 π + 16 π - \frac{8}{3} (4 π - 33) = 32 π - \frac{8}{3} (4 π - 33) = \frac{96}{3} π - \frac{32}{3} π + 83 = \frac{64}{3} π + 83 = \frac{8}{3} (8 π + 33)$