Pole trójkąta o wierzchołkach A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC) dane jest wzorem: $P_{\text{ABC}}=\frac{1}{2}\left|\left(x_B-x_A\right)\left(y_C-y_A\right)-\left(y_B-y_A\right)\left(x_C-x_A\right)\right|$

---

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Obliczamy pole trójkąta ABC:

$P_{\text{ABC}}=\frac{1}{2}\left|\left(x_B-x_A\right)\left(y_C-y_A\right)-\left(y_B-y_A\right)\left(x_C-x_A\right)\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|\left(4-6\right)\left(5+1\right)-\left(7+1\right)\left(-2-6\right)\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|-2\cdot 6-8\cdot \left(-8\right)\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|-12+64\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|52\right|=\frac{1}{2}\cdot 52=26$  

---

Wiemy, że środkowe dowolnego trójkąta dzielą go na 6 trójkątów o równych polach, więc:

$P_{\text{APD}}=P_{\text{BPD}}=P_{\text{BPE}}=P_{\text{CPE}}=P_{\text{CPF}}=P_{\text{APF}}=\frac{1}{6}{P}_{\text{ABC}}=\frac{1}{6}\cdot 26=\frac{13}{3}$  

Wówczas:

$P_{\text{APB}}=P_{\text{BPC}}=P_{\text{CPA}}=2\cdot \frac{13}{3}=\frac{26}{3}$  

---

Obliczamy długości boków trójkąta ABC:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(4-6\right)}^2+{\left(7+1\right)}^2}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+8^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$  

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(-2-4\right)}^2+{\left(5-7\right)}^2}=\sqrt{{\left(-6\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$  

$\left|CA\right|=\sqrt{{\left(6+2\right)}^2+{\left(-1-5\right)}^2}=\sqrt{8^2+{\left(-6\right)}^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$  

---

Oznaczmy:

d_AB - odległość punktu P od prostej AB

d_BC - odległość punktu P od prostej BC

d_CA - odległość punktu P od prostej CA

---

Odległości punktu P od boków AB, BC, CA trójkąta ABC są odpowiednio wysokościami trójkątów ABP, BPC, CPA.

Ze wzoru na pole trójkąta APB otrzymujemy:

$P_{\text{APB}}=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot d_{\text{AB}}$  

$\frac{26}{3}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{17}\cdot d_{\text{AB}}$  

$\frac{26}{3}=\sqrt{17}\cdot d_{\text{AB}}\mid :\sqrt{17}$  

$\frac{26}{3\sqrt{17}}=d_{\text{AB}}$  

$d_{\text{AB}}=\frac{26}{3\sqrt{17}}\cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}=\frac{26\sqrt{17}}{3\cdot 17}=\frac{26\sqrt{17}}{51}\approx 2,1$  

---

Ze wzoru na pole trójkąta BPC otrzymujemy:

$P_{\text{BPC}}=\frac{1}{2}\cdot \left|BP\right|\cdot d_{\text{BC}}$  

$\frac{26}{3}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{10}\cdot d_{\text{BC}}$  

$\frac{26}{3}=\sqrt{10}\cdot d_{\text{BC}}\mid :\sqrt{10}$  

$\frac{26}{3\sqrt{10}}=d_{\text{BC}}$  

$d_{\text{BC}}=\frac{26}{3\sqrt{10}}\cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=\frac{26\sqrt{10}}{3\cdot 10}=\frac{13\sqrt{10}}{15}\approx 2,7$  

---

Ze wzoru na pole trójkąta CPA otrzymujemy:

$P_{\text{CPA}}=\frac{1}{2}\cdot \left|CA\right|\cdot d_{\text{CA}}$  

$\frac{26}{3}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot d_{\text{CA}}$  

$\frac{26}{3}=5d_{\text{CA}}\mid :5$  

$\frac{26}{15}=d_{\text{CA}}$  

$d_{\text{CA}}=\frac{26}{15}\approx 1,7$  

Mamy:

$1,7<2,1<2,7$  

Stąd:

$d_{\text{CA}}<d_{\text{AB}}<d_{\text{BC}}$