a) Prosta y=2x przechodzi przez punkt (0, 0), ponieważ:

$2\cdot 0=0$  

Zatem prosta y=2x jest symetryczna względem punktu (0, 0).

Wobec tego obrazem podanej prostej w symetrii względem punktu (0, 0) jest prosta

$y=2x$  

---

b) Prosta y=-3x przechodzi przez punkt (0, 0), ponieważ:

$-3\cdot 0=0$  

Zatem prosta y=-3x jest symetryczna względem punktu (0, 0).

Wobec tego obrazem podanej prostej w symetrii względem punktu (0, 0) jest prosta

$y=-3x$  

---

c) Przekształcamy równanie danej prostej do postaci kierunkowej:

$2x+y=1$  

$y=-2x+1$  

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=-2x+1. W tym celu obliczamy wartości funkcji y=-2x+1 dla dwóch dowolnych argumentów:

• $\text{dla}x=0:$  

$y=-2\cdot 0+1=1$  

• $\text{dla}x=3:$  

$y=-2\cdot 3+1=-6+1=-5$  

Zatem prosta y=-2x+1 przechodzi przez punkty:

$A\left(0,1\right),B\left(3,-5\right)$  

Wyznaczamy obrazy punktów A i B w symetrii względem punktu (0, 0):

$A{}^{\prime }\left(0,-1\right),B{}^{\prime }\left(-3,5\right)$  

Niech prosta A'B' ma równanie:

$y=ax+b$  

Podstawiamy współrzędne punktów A' i B' do równania prostej i wyznaczamy współczynniki a i b.

$\{\begin{array}{l}a\cdot 0+b=-1\\ -3a+b=5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=-1\\ -3a+b=5\end{array}$  

Podstawiamy b=-1 do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}b=-1\\ -3a-1=5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=-1\\ -3a=6\mid :\left(-3\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=-1\\ a=-2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=-1\end{array}$  

Otrzymujemy, że szukana prosta ma równanie:

$y=-2x-1$  

---

d) Przekształcamy równanie danej prostej do postaci kierunkowej:

$3x-4y=2$  

$-4y=-3x+2\mid :\left(-4\right)$  

$y=\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}$  

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=³/₄x-¹/₂. W tym celu obliczamy wartości funkcji y=³/₄x-¹/₂ dla dwóch dowolnych argumentów:

• $\text{dla}x=2:$  

$y=\frac{3}{4}\cdot 2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1$  

• $\text{dla}x=6:$  

$y=\frac{3}{4}\cdot 6-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}=\frac{8}{2}=4$  

Zatem prosta y=³/₄x-¹/₂ przechodzi przez punkty:

$A\left(2,1\right),B\left(6,4\right)$  

Wyznaczamy obrazy punktów A i B w symetrii względem punktu (0, 0):

$A{}^{\prime }\left(-2,-1\right),B{}^{\prime }\left(-6,-4\right)$  

Niech prosta A'B' ma równanie:

$y=ax+b$  

Podstawiamy współrzędne punktów A' i B' do równania prostej i wyznaczamy współczynniki a i b.

$\{\begin{array}{l}-2a+b=-1\\ -6a+b=-4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-2a+b=-1\\ b=6a-4\end{array}$  

Podstawiamy b=6a-4 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}-2a+6a-4=-1\\ b=6a-4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}4a=3\mid :4\\ b=6a-4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=\frac{3}{4}\\ b=6a-4\end{array}$  

Podstawiamy a=³/₄ do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}a=\frac{3}{4}\\ b=6a-4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=\frac{3}{4}\\ b=6\cdot \frac{3}{4}-4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=\frac{3}{4}\\ b=\frac{9}{2}-\frac{8}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=\frac{3}{4}\\ b=\frac{1}{2}\end{array}$  

Otrzymujemy, że szukana prosta ma równanie:

$y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}$