Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Wyznaczamy współrzędne punktów A i B, czyli punktów wspólnych okręgu i prostej x-y=1:

$\{\begin{array}{l}{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=20\\ x-y=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=20\\ x=y+1\end{array}$  

Podstawiamy x=y+1 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}{\left(y+1-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=20\\ x=y+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{y}^2+{\left(y-2\right)}^2=20\\ x=y+1\end{array}$  

Rozwiązujemy pierwsze równanie w układzie.

$y^2+{\left(y-2\right)}^2=20$  

$y^2+y^2-4y+4=20$  

$2y^2-4y-16=0\mid :2$  

$y^2-2y-8=0$  

$\Delta =4+32=36,\sqrt{\Delta }=6$  

$y=\frac{2-6}{2}=\frac{-4}{2}=-2\text{lub}y=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4$  

Podstawiamy wyznaczone wartości y do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}y=-2\\ x=y+1\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}y=4\\ x=y+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2\\ x=-2+1\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}y=4\\ x=4+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2\\ x=-1\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}y=4\\ x=5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-2\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=5\\ y=4\end{array}$  

Zatem:

$A\left(-1,-2\right),B\left(5,4\right)$  

---

Przekształcamy równanie prostej AB do postaci kierunkowej:

$x-y=1$  

$x-1=y$  

$y=x-1$  

Prosta CD zawiera drugą podstawę trapezu, więc jest równoległa do prostej AB.

Proste równoległe mają takie same współczynniki kierunkowe, więc równanie prostej CD ma postać:

$y=x+b$  

Przekształcamy to równanie do postaci ogólnej:

$x-y+b=0$  

Wysokość trapezu jest równa 4√2, więc tyle wynosi odległość dowolnego punktu należącego do podstawy AB (np. A(-1, -2)) od prostej CD: x-y+b=0.

Ze wzoru na odległość punktu od prostej otrzymujemy:

$\frac{\left|1\cdot \left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot \left(-2\right)+b\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}}=4\sqrt{2}$  

$\frac{\left|-1+2+b\right|}{\sqrt{1+1}}=4\sqrt{2}$  

$\frac{\left|b+1\right|}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}\mid \cdot \sqrt{2}$  

$\left|b+1\right|=8$  

$b+1=-8\text{lub}b+1=8$  

$b=-9\text{lub}b=7$  

---

Otrzymaliśmy dwa przypadki. Sprawdzimy, czy oba z nich spełniają warunki zadania, czyli czy prosta x-y+b=0 jest sieczną okręgu.

Odczytujemy współrzędne środka i długość promienia okręgu:

$S\left(1,2\right),r=\sqrt{20}$  

• Dla b=-9 równanie prostej przyjmuje postać:

$x-y-9=0$  

Obliczamy odległość tej prostej od środka okręgu:

$d_1=\frac{\left|1\cdot 1+\left(-1\right)\cdot 2+\left(-9\right)\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\left|1-2-9\right|}{\sqrt{1+1}}=\frac{\left|-10\right|}{\sqrt{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{100}{2}}=\sqrt{50}$  

Mamy:

$\sqrt{50}>\sqrt{20}$  

$d_1>r$  

więc dla b=-9 prosta x-y+b=0 jest rozłączna z okręgiem.

Oznacza to, że b=-9 nie spełnia warunków zadania.

• Dla b=7 równanie prostej przyjmuje postać:

$x-y+7=0$  

Obliczamy odległość tej prostej od środka okręgu:

$d_2=\frac{\left|1\cdot 1+\left(-1\right)\cdot 2+7\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\left|1-2+7\right|}{\sqrt{1+1}}=\frac{\left|6\right|}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{36}{2}}=\sqrt{18}$  

Mamy:

$\sqrt{18}<\sqrt{20}$  

$d_2<r$  

więc dla b=7 prosta x-y+b=0 jest sieczną okręgu.

Oznacza to, że b=7 spełnia warunki zadania.

---

Wyznaczamy współrzędne punktów C i D, czyli punktów wspólnych okręgu i prostej x-y+7=0:

$\{\begin{array}{l}{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=20\\ x-y+7=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=20\\ x=y-7\end{array}$  

Podstawiamy x=y-7 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}{\left(y-7-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=20\\ x=y-7\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\left(y-8\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=20\\ x=y-7\end{array}$  

Rozwiązujemy pierwsze równanie w układzie.

${\left(y-8\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=20$  

$y^2-16y+64+y^2-4y+4=20$  

$2y^2-20y+48=0\mid :2$  

$y^2-10y+24=0$  

$\Delta =100-96=4,\sqrt{\Delta }=2$  

$y=\frac{10-2}{2}=\frac{8}{2}=4\text{lub}y=\frac{10+2}{2}=\frac{12}{2}=6$  

Podstawiamy wyznaczone wartości y do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}y=4\\ x=y-7\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}y=6\\ x=y-7\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=4\\ x=4-7\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}y=6\\ x=6-7\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=4\\ x=-3\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}y=6\\ x=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=4\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=6\end{array}$  

Zatem:

$C\left(-1,6\right),D\left(-3,4\right)$  

---

Wierzchołkami trapezu są punkty:

$A\left(-1,-2\right),B\left(5,4\right),C\left(-1,6\right),D\left(-3,4\right)$