Odczytujemy współrzędne środka i długość promienia okręgu:

$S\left(0,0\right),r=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$  

---

Obliczamy odległości punktów A i B od środka okręgu:

$\left|OA\right|=\sqrt{{\left(-12-0\right)}^2+{\left(-4-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(-12\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}=\sqrt{144+16}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$  

$\left|OB\right|=\sqrt{{\left(4-0\right)}^2+{\left(12-0\right)}^2}=\sqrt{4^2+{12}^2}=\sqrt{16+144}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$  

Mamy:

$\left|OA\right|>r$  

$\left|OB\right|>r$  

więc punkty A i B leżą na zewnątrz okręgu.

---

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Niech styczne przechodzące przez punkt A mają równanie postaci:

$y=ax+b$  

Podstawiając współrzędne punktu A(-12, -4), otrzymujemy:

$-4=a\cdot \left(-12\right)+b$  

$12a-4=b$  

$b=12a-4$  

Wówczas równanie prostej przyjmuje postać:

$y=ax+12a-4$  

Przekształcamy je do postaci ogólnej.

$ax-y+12a-4=0$  

Prosta jest styczna do okręgu, więc jej odległość od środka okręgu jest równa promieniowi. 

Ze wzoru na odległość punktu od prostej otrzymujemy:

$\frac{\left|a\cdot 0+\left(-1\right)\cdot 0+12a-4\right|}{\sqrt{a^2+{\left(-1\right)}^2}}=r$  

$\frac{\left|12a-4\right|}{\sqrt{a^2+1}}=4\sqrt{5}\mid {}^2$  

$\frac{{\left(12a-4\right)}^2}{a^2+1}=80\mid \cdot \left(a^2+1\right)$  

${\left(12a-4\right)}^2=80\left(a^2+1\right)$  

$144a^2-96a+16=80a^2+80$  

$64a^2-96a-64=0\mid :32$  

$2a^2-3a-2=0$  

$\Delta =9+16=25,\sqrt{\Delta }=5$  

$a=\frac{3-5}{2\cdot 2}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}\text{lub}a=\frac{3+5}{2\cdot 2}=\frac{8}{4}=2$  

Dla a=-¹/₂ równanie stycznej przyjmuje postać:

$y=ax+12a-4=-\frac{1}{2}x+12\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)-4=-\frac{1}{2}x-6-4=-\frac{1}{2}x-10$  

Dla a=2 równanie stycznej przyjmuje postać:

$y=ax+12a-4=2x+12\cdot 2-4=2x+24-4=2x+20$  

---

Niech styczne przechodzące przez punkt B mają równanie postaci:

$y=cx+d$  

Podstawiając współrzędne punktu B(4, 12), otrzymujemy:

$12=c\cdot 4+d$  

$12-4c=d$  

$d=12-4c$  

Wówczas równanie prostej przyjmuje postać:

$y=cx+12-4c$  

Przekształcamy je do postaci ogólnej.

$cx-y+12-4c=0$  

Prosta jest styczna do okręgu, więc jej odległość od środka okręgu jest równa promieniowi. 

Ze wzoru na odległość punktu od prostej otrzymujemy:

$\frac{\left|c\cdot 0+\left(-1\right)\cdot 0+12-4c\right|}{\sqrt{c^2+{\left(-1\right)}^2}}=r$  

$\frac{\left|12-4c\right|}{\sqrt{c^2+1}}=4\sqrt{5}\mid {}^2$  

$\frac{{\left(12-4c\right)}^2}{c^2+1}=80\mid \cdot \left(c^2+1\right)$  

${\left(12-4c\right)}^2=80\left(c^2+1\right)$  

$144-96c+16c^2=80c^2+80$  

$-64c^2-96c+64=0\mid :\left(-32\right)$  

$2c^2+3c-2=0$  

$\Delta =9+16=25,\sqrt{\Delta }=5$  

$c=\frac{-3-5}{2\cdot 2}=\frac{-8}{4}=-2\text{lub}c=\frac{-3+5}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$  

Dla c=-2 równanie stycznej przyjmuje postać:

$y=cx+12-4c=-2x+12-4\cdot \left(-2\right)=-2x+12+8=-2x+20$  

Dla c=¹/₂ równanie stycznej przyjmuje postać:

$y=cx+12-4c=\frac{1}{2}x+12-4\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}x+12-2=\frac{1}{2}x+10$  

---

Styczne do okręgu przechodzące przez punkt A mają równania:

$y=-\frac{1}{2}x-10$  

$y=2x+20$  

Styczne do okręgu przechodzące przez punkt B mają równania:

$y=-2x+20$  

$y=\frac{1}{2}x+10$  

---

Wyznaczamy współrzędne punktu wspólnego prostej y=-¹/₂x-10 i okręgu x²+y²=80:

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=80\\ y=-\frac{1}{2}x-10\end{array}$  

Podstawiamy y=-¹/₂x-10 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(-\frac{1}{2}x-10\right)}^2=80\\ y=-\frac{1}{2}x-10\end{array}$  

Rozwiązujemy pierwsze równanie w układzie.

$x^2+{\left(-\frac{1}{2}x-10\right)}^2=80$  

$x^2+\frac{1}{4}{x}^2+10x+100=80$  

$\frac{5}{4}{x}^2+10x+20=0\mid \cdot \frac{4}{5}$  

$x^2+8x+16=0$  

${\left(x+4\right)}^2=0$  

$x+4=0$  

$x=-4$  

Podstawiamy x=-4 do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=-\frac{1}{2}x-10\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=-\frac{1}{2}\cdot \left(-4\right)-10\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=2-10\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=-8\end{array}$  

Zatem:

$K\left(-4,-8\right)$  

---

Wyznaczamy współrzędne punktu wspólnego prostej y=2x+20 i okręgu x²+y²=80:

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=80\\ y=2x+20\end{array}$  

Podstawiamy y=2x+20 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(2x+20\right)}^2=80\\ y=2x+20\end{array}$  

Rozwiązujemy pierwsze równanie w układzie.

$x^2+{\left(2x+20\right)}^2=80$  

$x^2+4x^2+80x+400=80$  

$5x^2+80x+320=0\mid :5$  

$x^2+16x+64=0$  

${\left(x+8\right)}^2=0$  

$x+8=0$  

$x=-8$  

Podstawiamy x=-8 do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x=-8\\ y=2x+20\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-8\\ y=2\cdot \left(-8\right)+20\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-8\\ y=-16+20\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-8\\ y=4\end{array}$  

Zatem:

$L\left(-8,4\right)$  

---

Wyznaczamy współrzędne punktu wspólnego prostej y=-2x+20 i okręgu x²+y²=80:

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=80\\ y=-2x+20\end{array}$  

Podstawiamy y=-2x+20 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(-2x+20\right)}^2=80\\ y=-2x+20\end{array}$  

Rozwiązujemy pierwsze równanie w układzie.

$x^2+{\left(-2x+20\right)}^2=80$  

$x^2+4x^2-80x+400=80$  

$5x^2-80x+320=0\mid :5$  

$x^2-16x+64=0$  

${\left(x-8\right)}^2=0$  

$x-8=0$  

$x=8$  

Podstawiamy x=8 do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x=8\\ y=-2x+20\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=8\\ y=-2\cdot 8+20\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=8\\ y=-16+20\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=8\\ y=4\end{array}$  

Zatem:

$N\left(8,4\right)$  

---

Wyznaczamy współrzędne punktu wspólnego prostej y=¹/₂x+10 i okręgu x²+y²=80:

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=80\\ y=\frac{1}{2}x+10\end{array}$  

Podstawiamy y=¹/₂x+10 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(\frac{1}{2}x+10\right)}^2=80\\ y=\frac{1}{2}x+10\end{array}$  

Rozwiązujemy pierwsze równanie w układzie.

$x^2+{\left(\frac{1}{2}x+10\right)}^2=80$  

$x^2+\frac{1}{4}{x}^2+10x+100=80$  

$\frac{5}{4}{x}^2+10x+20=0\mid \cdot \frac{4}{5}$  

$x^2+8x+16=0$  

${\left(x+4\right)}^2=0$  

$x+4=0$  

$x=-4$  

Podstawiamy x=-4 do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=\frac{1}{2}x+10\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=\frac{1}{2}\cdot \left(-4\right)+10\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=-2+10\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=8\end{array}$  

Zatem:

$M\left(-4,8\right)$  

---

Wierzchołkami czworokąta KLMN są punkty:

$K\left(-4,-8\right),L\left(-8,4\right),M\left(-4,8\right),N\left(8,4\right)$  

---

Pole czworokąta KLMN możemy obliczyć jako sumę pól dwóch trójkątów KLM i MNK, korzystając ze wzoru na pole trójkąta o danych wierzchołkach.

Pole trójkąta o wierzchołkach A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC) dane jest wzorem: $P_{\text{ABC}}=\frac{1}{2}\left|\left(x_B-x_A\right)\left(y_C-y_A\right)-\left(y_B-y_A\right)\left(x_C-x_A\right)\right|$

---

Obliczamy pole trójkąta KLM:

$P_{\text{KLM}}=\frac{1}{2}\cdot \left|\left(x_L-x_K\right)\left(y_M-y_K\right)-\left(y_L-y_K\right)\left(x_M-x_K\right)\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|\left(-8+4\right)\left(8+8\right)-\left(4+8\right)\left(-4+4\right)\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|-4\cdot 16-12\cdot 0\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|-64\right|=\frac{1}{2}\cdot 64=32$  

Obliczamy pole trójkąta MNK:

$P_{\text{MNK}}=\frac{1}{2}\cdot \left|\left(x_N-x_M\right)\left(y_K-y_M\right)-\left(y_N-y_M\right)\left(x_K-x_M\right)\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|\left(8+4\right)\left(-8-8\right)-\left(4-8\right)\left(-4+4\right)\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|12\cdot \left(-16\right)-\left(4\right)\cdot 0\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|-192\right|=\frac{1}{2}\cdot 192=96$  

---

Obliczamy pole czworokąta KLMN:

$P=P_{\text{KLM}}+P_{\text{MNK}}=32+96=128$