Rozwiąż układ równań i podaj jego...- Zadanie 1: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

$a)$

${x^{2} + y^{2} = 40 3 x - y = 0$

${x^{2} + y^{2} = 40 y = 3 x$

Podstawiamy y=3x do pierwszego równania w układzie.

${x^{2} + (3 x)^{2} = 40 y = 3 x$

${x^{2} + 9 x^{2} = 40 y = 3 x$

${10 x^{2} = 40 ∣ : 10 y = 3 x$

${x^{2} = 4 y = 3 x$

${x = - 2 lub x = 2 y = 3 x$

${x = - 2 y = 3 x lub {x = 2 y = 3 x$

Podstawiamy wyznaczone wartości x do drugiego równania w układzie.

${x = - 2 y = 3 \cdot (- 2) lub {x = 2 y = 3 \cdot 2$

${x = - 2 y = - 6 lub {x = 2 y = 6$

Interpretacją geometryczną układu równań są okrąg x²+y²=40 (o środku w punkcie (0, 0) i promieniu 2√10) i prosta y=3x mające dwa punkty wspólne (-2, -6) i (2, 6).

$b)$

${x^{2} + y^{2} = 9 x - y + 3 = 0$

${x^{2} + y^{2} = 9 x + 3 = y$

Podstawiamy y=x+3 do pierwszego równania w układzie.

${x^{2} + (x + 3)^{2} = 9 y = x + 3$

${x^{2} + x^{2} + 6 x + 9 = 9 y = x + 3$

${2 x^{2} + 6 x = 0 ∣ : 2 y = x + 3$

${x^{2} + 3 x = 0 y = x + 3$

${x (x + 3) = 0 y = x + 3$

${x = 0 lub x + 3 = 0 y = x + 3$

${x = 0 lub x = - 3 y = x + 3$

${x = 0 y = x + 3 lub {x = - 3 y = x + 3$

Podstawiamy wyznaczone wartości x do drugiego równania w układzie.

${x = 0 y = 0 + 3 lub {x = - 3 y = - 3 + 3$

${x = 0 y = 3 lub {x = - 3 y = 0$

Interpretacją geometryczną układu równań są okrąg x²+y²=9 (o środku w punkcie (0, 0) i promieniu 3) i prosta y=x+3 mające dwa punkty wspólne (0, 3) i (-3, 0).

$c)$

${x^{2} + y^{2} = 18 y = - x - 6$

Podstawiamy y=-x-6 do pierwszego równania w układzie.

${x^{2} + (- x - 6)^{2} = 18 y = - x - 6$

${x^{2} + x^{2} + 12 x + 36 = 18 y = - x - 6$

${2 x^{2} + 12 x + 18 = 0 ∣ : 2 y = - x - 6$

${x^{2} + 6 x + 9 = 0 y = - x - 6$

${(x + 3)^{2} = 0 y = - x - 6$

${x + 3 = 0 y = - x - 6$

${x = - 3 y = - x - 6$

Podstawiamy x=-3 do drugiego równania w układzie.

${x = - 3 y = - (- 3) - 6$

${x = - 3 y = 3 - 6$

${x = - 3 y = - 3$

Interpretacją geometryczną układu równań są okrąg x²+y²=18 (o środku w punkcie (0, 0) i promieniu 3√2) i prosta y=-x-6 mające jeden punkt wspólny (-3, -3).

$d)$

${x^{2} + y^{2} = 36 x + y - 9 = 0$

${x^{2} + y^{2} = 36 y = - x + 9$

Podstawiamy y=-x+9 do pierwszego równania w układzie.

${x^{2} + (- x + 9)^{2} = 36 y = - x + 9$

${x^{2} + x^{2} - 18 x + 81 = 36 y = - x + 9$

${2 x^{2} - 18 x + 45 = 0 y = - x + 9$

Rozwiązujemy pierwsze równanie w układzie.

$2 x^{2} - 18 x + 45 = 0$

$Δ = (- 18)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 45 = 324 - 360 = - 36 < 0$

Δ<0, więc powyższe równanie nie ma rozwiązań.

Oznacza to, że również układ równań nie ma rozwiązań - jest sprzeczny.

Interpretacją geometryczną układu równań są okrąg x²+y²=36 (o środku w punkcie (0, 0) i promieniu 6) i prosta y=-x+9 niemające punktów wspólnych.

$e)$

${x^{2} + y^{2} = 50 x + y - 6 = 0$

${x^{2} + y^{2} = 50 y = - x + 6$

Podstawiamy y=-x+6 do pierwszego równania w układzie.

${x^{2} + (- x + 6)^{2} = 50 y = - x + 6$

${x^{2} + x^{2} - 12 x + 36 = 50 y = - x + 6$

${2 x^{2} - 12 x - 14 = 0 y = - x + 6$

Rozwiązujemy pierwsze równanie w układzie.

$2 x^{2} - 12 x - 14 = 0 ∣ : 2$

$x^{2} - 6 x - 7 = 0$

$Δ = 36 + 28 = 64, Δ = 8$

$x = \frac{6 - 8}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1 lub x = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Podstawiamy wyznaczone wartości x do drugiego równania w układzie.

${x = - 1 y = - x + 6 lub {x = 7 y = - x + 6$

${x = - 1 y = - (- 1) + 6 lub {x = 7 y = - 7 + 6$

${x = - 1 y = 7 lub {x = 7 y = - 1$

Interpretacją geometryczną układu równań są okrąg x²+y²=50 (o środku w punkcie (0, 0) i promieniu 5√2) i prosta y=-x+6 mające dwa punkty wspólne (-1, 7) i (7, -1).

$f)$

${x^{2} + y^{2} = 50 x - 3 y + 10 = 0$

${x^{2} + y^{2} = 50 x = 3 y - 10$

Podstawiamy x=3y-10 do pierwszego równania w układzie.

${(3 y - 10)^{2} + y^{2} = 50 x = 3 y - 10$

${9 y^{2} - 60 y + 100 + y^{2} = 50 x = 3 y - 10$

${10 y^{2} - 60 y + 50 = 0 x = 3 y - 10$

Rozwiązujemy pierwsze równanie w układzie.

$10 y^{2} - 60 y + 50 = 0 ∣ : 10$

$y^{2} - 6 y + 5 = 0$

$Δ = 36 - 20 = 16, Δ = 4$

$y = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 lub y = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Podstawiamy wyznaczone wartości y do drugiego równania w układzie.

${y = 1 x = 3 y - 10 lub {y = 5 x = 3 y - 10$

${y = 1 x = 3 \cdot 1 - 10 lub {y = 5 x = 3 \cdot 5 - 10$

${y = 1 x = 3 - 10 lub {y = 5 x = 15 - 10$

${y = 1 x = - 7 lub {y = 5 x = 5$

${x = - 7 y = 1 lub {x = 5 y = 5$

Przekształcamy równanie prostej do postaci kierunkowej:

$x - 3 y + 10 = 0$

$- 3 y = - x - 10 ∣ : (- 3)$

$y = \frac{1}{3} x + \frac{10}{3}$

Interpretacją geometryczną układu równań są okrąg x²+y²=50 (o środku w punkcie (0, 0) i promieniu 5√2) i prosta y=¹/₃x+¹⁰/₃ mające dwa punkty wspólne (-7, 1) i (5, 5).