a) Odczytujemy współrzędne środka i długość promienia okręgu:

$S\left(-3,-1\right),r=2$  

Obliczamy odległość środka okręgu od prostej p, korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej:

$d=\frac{\left|2\cdot \left(-3\right)+\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)+12\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\left|-6+1+12\right|}{\sqrt{4+1}}=\frac{\left|7\right|}{\sqrt{5}}=\frac{7}{\sqrt{5}}$  

Mamy:

$\frac{7}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{49}{5}}=\sqrt{9,8}$  

$2=\sqrt{4}$  

$\sqrt{9,8}>\sqrt{4}$  

$d>r$  

Zatem prosta p jest rozłączna z okręgiem (ma z okręgiem 0 punktów wspólnych).

---

b) Odczytujemy współrzędne środka i długość promienia okręgu:

$S\left(-1,1\right),r=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$  

Obliczamy odległość środka okręgu od prostej p, korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej:

$d=\frac{\left|3\cdot \left(-1\right)+3\cdot 1+4\right|}{\sqrt{3^2+3^2}}=\frac{\left|-3+3+4\right|}{\sqrt{9+9}}=\frac{\left|4\right|}{\sqrt{2\cdot 9}}=\frac{4}{3\sqrt{2}}=\frac{4}{3\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{3\cdot 2}=\frac{2sqt2}{3}$  

Otrzymaliśmy:

$d=r$  

więc prosta p jest styczna do okręgu (ma z okręgiem 1 punkt wspólny).

---

c) Odczytujemy współrzędne środka i długość promienia okręgu:

$S\left(1,2\right),r=1$  

Obliczamy odległość środka okręgu od prostej p, korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej:

$d=\frac{\left|3\cdot 1+\left(-4\right)\cdot 2\right|}{\sqrt{3^2+{\left(-4\right)}^2}}=\frac{\left|3-8\right|}{\sqrt{9+16}}=\frac{\left|-5\right|}{\sqrt{25}}=\frac{5}{5}=1$  

Otrzymaliśmy:

$d=r$  

więc prosta p jest styczna do okręgu (ma z okręgiem 1 punkt wspólny).

---

d) Odczytujemy współrzędne środka i długość promienia okręgu:

$S\left(0,-2\right),r=5$  

Obliczamy odległość środka okręgu od prostej p, korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej:

$d=\frac{\left|2\cdot 0+5\cdot \left(-2\right)+\left(-4\right)\right|}{\sqrt{2^2+5^2}}=\frac{\left|-10-4\right|}{\sqrt{4+25}}=\frac{\left|-14\right|}{\sqrt{29}}=\frac{14}{\sqrt{29}}$  

Mamy:

$\frac{14}{\sqrt{29}}=\frac{\sqrt{196}}{\sqrt{29}}=\sqrt{\frac{196}{29}}\approx \sqrt{6,8}$  

$5=\sqrt{25}$  

$\sqrt{6,8}<\sqrt{25}$  

$d<r$  

Zatem prosta p jest sieczną okręgu (ma z okręgiem 2 punkty wspólne).