Okrąg o środku w punkcie S(a, b) i promieniu r>0 jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny, których współrzędne (x, y) spełniają równanie ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=r^2$   Powyższe równanie nazywamy równaniem okręgu w postaci kanonicznej.

---

a) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Punkty A i B mają tę samą pierwszą współrzędną równą 8, więc leżą na prostej:

$\text{AB}:x=8$  

Prosta prostopadła do prostej x=8 ma równanie:

$y=b_1$  

Wyznaczamy współrzędne środka odcinka AB:

$x_P=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{8+8}{2}=\frac{16}{2}=8$  

$y_P=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{-12+4}{2}=\frac{-8}{2}=-4$  

Zatem:

$P\left(8,-4\right)$  

Podstawiając współrzędne punktu P do równania symetralnej odcinka AB, otrzymujemy:

$-4=b_1$  

$b_1=-4$  

Zatem równanie symetralnej odcinka AB ma postać:

$y=-4$  

---

Niech symetralna odcinka BC będzie miała równanie:

$y=a_{2}x+b_2$  

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej BC:

$a_{\text{BC}}=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\frac{-14-4}{2-8}=\frac{-18}{-6}=3$  

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy -1, więc:

$a_2\cdot a_{\text{BC}}=-1$  

$a_2\cdot 3=-1\mid :3$  

$a_2=-\frac{1}{3}$  

Wówczas równanie symetralnej odcinka BC przyjmuje postać:

$y=-\frac{1}{3}x+b_2$  

Wyznaczamy współrzędne środka odcinka BC:

$x_Q=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{8+2}{2}=\frac{10}{2}=5$  

$y_Q=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{4+\left(-14\right)}{2}=\frac{-10}{2}=-5$  

Zatem:

$Q\left(5,-5\right)$  

Podstawiając współrzędne punktu Q do równania symetralnej odcinka BC, otrzymujemy:

$-5=-\frac{1}{3}\cdot 5+b_2$  

$-\frac{15}{3}=-\frac{5}{3}+b_2$  

$-\frac{10}{3}=b_2$  

$b_2=-\frac{10}{3}$  

Zatem równanie symetralnej odcinka BC ma postać:

$y=-\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}$  

---

Niech symetralna odcinka CD będzie miała równanie:

$y=a_{3}x+b_3$  

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej CD:

$a_{\text{CD}}=\frac{y_D-y_C}{x_D-x_C}=\frac{2-\left(-14\right)}{-6-2}=\frac{16}{-8}=-2$  

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy -1, więc:

$a_3\cdot a_{\text{CD}}=-1$  

$a_3\cdot \left(-2\right)=-1\mid :\left(-2\right)$  

$a_3=\frac{1}{2}$  

Wówczas równanie symetralnej odcinka CD przyjmuje postać:

$y=\frac{1}{2}x+b_3$  

Wyznaczamy współrzędne środka odcinka CD:

$x_R=\frac{x_C+x_D}{2}=\frac{2+\left(-6\right)}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

$y_R=\frac{y_C+y_D}{2}=\frac{-14+2}{2}=\frac{-12}{2}=-6$  

Zatem:

$R\left(-2,-6\right)$  

Podstawiając współrzędne punktu R do równania symetralnej odcinka CD, otrzymujemy:

$-6=\frac{1}{2}\cdot \left(-2\right)+b_3$  

$-6=-1+b_3$  

$-5=b_3$  

$b_3=-5$  

Zatem równanie symetralnej odcinka CD ma postać:

$y=\frac{1}{2}x-5$  

---

Wyznaczamy współrzędne przecięcia symetralnych odcinków AB i BC, czyli punktu przecięcia prostych y=-4 i y=-¹/₃x-¹⁰/₃.

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}\\ y=-4\end{array}$

Podstawiamy y=-4 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}-4=-\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}\\ y=-4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-\frac{12}{3}=-\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}\\ y=-4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}\mid \cdot 3\\ y=-4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-4\end{array}$  

Zatem:

$S\left(2,-4\right)$  

---

Sprawdzamy, czy punkt S(2, -4) należy do symetralnej odcinka CD.

$L=-4$  

$P=\frac{1}{2}\cdot 2-5=1-5=-4$  

Otrzymaliśmy, że L=P, więc punkt S leży na symetralnej odcinka CD.

Wobec tego symetralne wszystkich boków łamanej otwartej ABCD przecinają się w jednym punkcie S(2, -4), co należało dowieść. 

---

---

b) Wszystkie boki łamanej otwartej BDAC są cięciwami tego samego okręgu, więc okrąg jest opisany na czworokącie ABCD.

Środek okręgu opisanego na wielokącie leży w punkcie przecięcia symetralnych boków wielokąta.

---

Rysunek poglądowy:

---

Wobec tego środkiem okręgu opisanego na czworokącie ABCD jest punkt przecięcia symetralnych boków AB i CD. Z podpunktu a) wiemy, że jego współrzędne to

$S\left(2,-4\right)$  

Obliczamy długość promienia okręgu, czyli odległość punktu S od jednego z wierzchołków.

$r=\left|CS\right|=\sqrt{{\left(2-2\right)}^2+{\left(-4+14\right)}^2}=\sqrt{0^2+{10}^2}=\sqrt{100}=10$  

---

Zapisujemy równanie okręgu opisanego na czworokącie ABCD, czyli okręgu o środku w punkcie S(2, -4) i promieniu r=10:

${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2={10}^2$  

${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=100$