Odległość punktu P(x0, y0) od prostej l: Ax+By+C=0 wyraża się wzorem: $d=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

---

Rysunek pomocniczy:

---

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych 2x+3y+3=0 i 3x-y+10=0:

$\{\begin{array}{l}2x+3y+3=0\\ 3x-y+10=0\mid \cdot 3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2x+3y+3=0\\ 9x-3y+30=0\end{array}$  

Dodajemy równania stronami.

$11x+33=0$  

$11x=-33\mid :11$  

$x=-3$  

Podstawiamy x=-3 do dowolnego równania w układzie i wyznaczamy y.

$\{\begin{array}{l}x=-3\\ 2x+3y+3=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-3\\ 2\cdot \left(-3\right)+3y+3=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-3\\ -6+3y+3=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-3\\ 3y=3\mid :3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=1\end{array}$  

Zatem jednym z wierzchołków trójkąta jest punkt

$A\left(-3,1\right)$  

---

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych 5x+2y-20=0 i 2x+3y+3=0:

$\{\begin{array}{l}5x+2y-20=0\mid \cdot 3\\ 2x+3y+3=0\mid \cdot \left(-2\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}15x+10y-60=0\\ -4x-6y-6=0\end{array}$  

Dodajemy równania stronami.

$11x-66=0$  

$11x=66\mid :11$  

$x=6$  

Podstawiamy x=6 do dowolnego równania w układzie i wyznaczamy y.

$\{\begin{array}{l}x=6\\ 2x+3y+3=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=6\\ 2\cdot 6+3y+3=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=6\\ 12+3y+3=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=6\\ 3y=-15\mid :3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=6\\ y=-5\end{array}$  

Zatem jednym z wierzchołków trójkąta jest punkt

$B\left(6,-5\right)$  

---

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych 5x+2y-20=0 i 3x-y+10=0:

$\{\begin{array}{l}5x+2y-20=0\\ 3x-y+10=0\mid \cdot 2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}5x+2y-20=0\\ 6x-2y+20=0\end{array}$  

Dodajemy równania stronami.

$11x=0\mid :11$  

$x=0$  

Podstawiamy x=0 do dowolnego równania w układzie i wyznaczamy y.

$\{\begin{array}{l}x=0\\ 5x+2y-20=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=0\\ 5\cdot 0+2y-20=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=0\\ 2y=20\mid :2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=10\end{array}$  

Zatem jednym z wierzchołków trójkąta jest punkt

$C\left(0,10\right)$  

---

Otrzymaliśmy, że wierzchołkami trójkąta są punkty:

$A\left(-3,1\right),B\left(6,-5\right),C\left(0,10\right)$  

---

Obliczamy długość boku BC:

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(0-6\right)}^2+{\left(10-\left(-5\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(-6\right)}^2+{15}^2}=\sqrt{36+225}=\sqrt{261}$  

Obliczamy wysokość opuszczoną na bok BC, czyli odległość punktu A(-3, 1) od prostej 5x+2y-20=0:

$h=\frac{\left|5\cdot \left(-3\right)+2\cdot 1+\left(-20\right)\right|}{\sqrt{5^2+2^2}}=\frac{\left|-15+2-20\right|}{\sqrt{25+4}}=\frac{\left|-33\right|}{\sqrt{29}}=\frac{33}{\sqrt{29}}$  

---

Obliczamy pole trójkąta ABC:

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|BC\right|\cdot h=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{261}\cdot \frac{33}{\sqrt{29}}=\frac{33}{2}\cdot \sqrt{9}=\frac{33}{2}\cdot 3=\frac{99}{2}=49,5$